Réponse :
Explications étape par étape
Bonsoir, je n'ai encore jamais vu une construction d'inéquation (surtout dans le sens inverse), merci pour la découverte. Ton expression est correcte, pour le bonus il faut être astucieux :
A la fin, tu dois obtenir une expression sous la forme "FA 1 + FA 2 >= 0".
Par expérience, lorsque tu souhaites mettre 2 fractions au même dénominateur, tu sais qu'au dénominateur, tu auras 2 facteurs... qui ne sont rien d'autre, que le produit des dénominateurs respectifs.
Par exemple : [tex]\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x+y}{xy}[/tex]
Sauf qu'au numérateur, tu dois avoir un trinôme de degré 2, il faudra donc en tenir compte.
L'idée est donc, de trouver 4 coefficients a, b, c et d tels que :
[tex]\frac{ax+b}{x+5} + \frac{cx+d}{x-1} = \frac{(x+2)(x-7)}{(x+5)(x-1)} = \frac{x^2 - 5x - 14}{(x+5)(x-1)}[/tex]
Ainsi, le numérateur sera de degré 2. Cette idée se nomme "décomposition en éléments simples", il te faudra procéder par identification.
Pour la 1re :
[tex]\frac{ax+b}{x+5} + \frac{cx+d}{x-1} = \frac{(ax+b)(x-1)+(cx+d)(x+5)}{(x+5)(x-1)} = \frac{x^2 - 5x - 14}{(x+5)(x-1)}[/tex]
On développe puis on identifie les coefficients :
[tex](a+c)x^2 + (-a-b+5c+d)x - b+5d = x^2 - 5x - 14[/tex]
[tex]<==> a+c = 1 / -a-b+5c+d= -5 / -b+5d = -14[/tex]
[tex]<==> a = 1-c ; b = 5d+14; 1-c-5d-14+5c+d = -5[/tex]
[tex]<==> c-d = 2; a=1-c;b=5d+14[/tex]
[tex]<==> c=d+2; a = -1-d; b = 5d+14[/tex]
Ainsi, l'on peut choisir n'importe quelle valeur de d, pour correspondre à l'équation. Considérons le réel d, et vérifions que ça fonctionne :
[tex](a+c)x^2 + (-a-b+5c+d)x - b+5d = (-1-d+d+2)x^2+(-1-d-5d-14+5d+10+d)x -5d-14+5d[/tex]
[tex]= x^2 - 5x - 14[/tex]
Finalement, si on veut décomposer en 2 fractions :
[tex]\frac{(x+2)(x-7)}{(x+5)(x-1)} = \frac{(-1-d)x+5d+14}{x+5} + \frac{(d+2)x+d}{x-1}[/tex]
Tu peux essayer avec d = 0, d = 1, d = 19491829, ça fonctionnera toujours, pour tout réel d.