👤

Construisez une inéquation répondant à la condition suivante :



Avoir pour solution l’ensemble S=]-∞;-5[∪[-2;1[∪[7;+∞[



Pour réaliser cette tâche, il faut donc réaliser le processus inverse d’une résolution d’inéquation.



Bonus : l’inéquation respecte la condition supplémentaire suivante :



Être sous la forme « FA1 + FA2 [signe d’inégalité] 0 » , où FA signifie Fraction Algébrique



Bonsoir ,
j ai résolu la première partie en faisant un tableau des signes et je trouve
(x+2).(x-7)/(x+5).(x-1)》0

j ai vérifié mon équation en refaisant le calcul.
je bloque pour le bonus cad ecrire sous la forme de la somme de 2 fractions .
merci pour votre aide

Sagot :

Réponse :

Explications étape par étape

Bonsoir, je n'ai encore jamais vu une construction d'inéquation (surtout dans le sens inverse), merci pour la découverte. Ton expression est correcte, pour le bonus il faut être astucieux :

A la fin, tu dois obtenir une expression sous la forme "FA 1 + FA 2 >= 0".

Par expérience, lorsque tu souhaites mettre 2 fractions au même dénominateur, tu sais qu'au dénominateur, tu auras 2 facteurs... qui ne sont rien d'autre, que le produit des dénominateurs respectifs.

Par exemple : [tex]\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x+y}{xy}[/tex]

Sauf qu'au numérateur, tu dois avoir un trinôme de degré 2, il faudra donc en tenir compte.

L'idée est donc, de trouver 4 coefficients a, b, c et d tels que :

[tex]\frac{ax+b}{x+5} + \frac{cx+d}{x-1} = \frac{(x+2)(x-7)}{(x+5)(x-1)} = \frac{x^2 - 5x - 14}{(x+5)(x-1)}[/tex]

Ainsi, le numérateur sera de degré 2. Cette idée se nomme "décomposition en éléments simples", il te faudra procéder par identification.

Pour la 1re :

[tex]\frac{ax+b}{x+5} + \frac{cx+d}{x-1} = \frac{(ax+b)(x-1)+(cx+d)(x+5)}{(x+5)(x-1)} = \frac{x^2 - 5x - 14}{(x+5)(x-1)}[/tex]

On développe puis on identifie les coefficients :

[tex](a+c)x^2 + (-a-b+5c+d)x - b+5d = x^2 - 5x - 14[/tex]

[tex]<==> a+c = 1 / -a-b+5c+d= -5 / -b+5d = -14[/tex]

[tex]<==> a = 1-c ; b = 5d+14; 1-c-5d-14+5c+d = -5[/tex]

[tex]<==> c-d = 2; a=1-c;b=5d+14[/tex]

[tex]<==> c=d+2; a = -1-d; b = 5d+14[/tex]

Ainsi, l'on peut choisir n'importe quelle valeur de d, pour correspondre à l'équation. Considérons le réel d, et vérifions que ça fonctionne :

[tex](a+c)x^2 + (-a-b+5c+d)x - b+5d = (-1-d+d+2)x^2+(-1-d-5d-14+5d+10+d)x -5d-14+5d[/tex]

[tex]= x^2 - 5x - 14[/tex]

Finalement, si on veut décomposer en 2 fractions :

[tex]\frac{(x+2)(x-7)}{(x+5)(x-1)} = \frac{(-1-d)x+5d+14}{x+5} + \frac{(d+2)x+d}{x-1}[/tex]

Tu peux essayer avec d = 0, d = 1, d = 19491829, ça fonctionnera toujours, pour tout réel d.

© 2024 IDNLearn. All rights reserved.