Bonjour,
1) f est définie sur IR
[tex]f(x)=x<=> 3\sqrt[3]{x^2}=3\sqrt[3]{x}\\\\<=>x^2=x\\\\<=>x(x-1)=0\\\\<=> x = 0\ ou\ x = 1[/tex]
Les solutions sont donc 0 et 1
2) f est dérivable en x différent de 0 et
[tex]f'(x)=1-3\times \dfrac{2}{3} \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2}}\\\\=1-\dfrac{2}{\sqrt[3]{x}}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2}}\\\\=\dfrac{\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]{x}+1}{\sqrt[3]{x^2}}\\\\=\dfrac{(\sqrt[3]{x}-1)^2}{\sqrt[3]{x^2}}[/tex]
Pour x différent de 0 et 1, f'(x) est strictement positif.
Nous savons que si f'(x) est strictement positif sur un intervalle I alors f est strictement croissante sur I.
Ici, seuls deux cas sont particuliers en x = 0 et x = 1
La question 1) permet de dire que 0 est l'unique de 0 par f et 1 est l'unique antécédent de 1 par f. Ainsi avec la monotonie de f, f(0)=0 et pour tout x > 0 f(x)>0
f(1)=1 et pour x<1 f(x)<1 et pour x>1 f(x)>1
donc f est strictement croissante sur IR+
b. f continue sur IR+ et strictement monotone.
De ce fait, f est un bijection de IR + vers IR+
c. Nous savons que pour tout a et b
[tex](a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3[/tex]
si je prends [tex]a=\sqrt[3]{x}[/tex] et b = 1
[tex](\sqrt[3]{x}-1)^3=x-3\sqrt[3]{x^2}+3\sqrt[3]{x}-1=f(x)-1[/tex]
et donc
[tex]x=f(f^{-1}(x))=1+\left( \sqrt[3]{f^{-1}(x)}-1 \right)^3\\\\\left( \sqrt[3]{f^{-1}(x)}-1 \right)^3=x-1\\\\\Large \boxed{\sf \bf f^{-1}(x)=(1+\sqrt[3]{x-1})^3}[/tex]
merci
