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Bonjour , j’aurais besoin d’aide pour un dm de maths niveau terminale et je suis vraiment coincée : voici l’exo

On considère la fonction f définie sur R par f(x)= e^x-x

1) dressez le tableau de variation de f sur R
2) en déduire que , pour tout x appartenant à R , f(x)>0
3) en déduire que limite e^x=+infini quand x tend vers +infini
4) en posant X=-x , démontrez que limite e^x=0 quand x tend vers -infini

Merci d’avance pour vos réponses

Sagot :

SCOLADAN

Bonjour,

1) f(x) = eˣ - x

f'(x) = eˣ - 1

f'(x) = 0 ⇒ eˣ = 1 ⇒ x = 0

x      -∞                  0                  +∞

f'(x)             -          0        +

f(x)          décrois.       crois.

2) f atteint un minimum en x = 0 et vaut alors f(0) = 1

⇒ pour tout x appartenant à R, f(x) ≥ 1 > 0

3) Pour tout x réel, f(x) > 0

⇔ eˣ - x > 0

⇔ eˣ > x

⇒ lim quand x→+∞ eˣ > lim quand x→+∞ x

Or lim quand x→ +∞ x = +∞

⇒ lim quand x→ +∞ eˣ = +∞

4) On pose X = -x

⇒ lim quand x→ -∞ eˣ = lim quand X→ +∞ e^(-X)

⇒ lim quand X→ +∞ e^(-X) = +∞

⇒ lim quand X→ +∞ 1/e^(X) = 0⁺ car lim quand x→ +∞ e^(X) = +∞