Réponse : Bonjour,
3)a)
[tex]\displaystyle v_{n+1}=\frac{u_{n+1}}{u_{n+1}+1}=\frac{\frac{u_{n}}{u_{n}+2}}{\frac{u_{n}}{u_{n}+2}+1}=\frac{\frac{u_{n}}{u_{n}+2}}{\frac{u_{n}+u_{n}+2}{u_{n}+2}}=\frac{\frac{u_{n}}{u_{n}+2}}{\frac{2u_{n}+2}{u_{n}+2}}=\frac{u_{n}}{2u_{n}+2}=\frac{1}{2} \frac{u_{n}}{u_{n}+1}\\v_{n+1}=\frac{1}{2} v_{n}[/tex]
Donc la suite [tex](v_{n})[/tex] est une suite géométrique de raison [tex]\displaystyle q=\frac{1}{2}[/tex] .
b) On a:
[tex]\displaystyle v_{0}=\frac{u_{0}}{u_{0}+1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}[/tex]
Donc l'expression de [tex]v_{n}[/tex], en fonction de n est:
[tex]\displaystyle v_{n}=\frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}[/tex]
On a donc:
[tex]\displaystyle v_{n}=\frac{u_{n}}{u_{n}+1}\\u_{n}=v_{n}u_{n}+v_{n}\\u_{n}-v_{n}u_{n}=v_{n}\\u_{n}(1-v_{n})=v_{n}\\u_{n}=\frac{v_{n}}{1-v_{n}}[/tex]
On en déduit l'expression de [tex]u_{n}[/tex], en fonction de n:
[tex]\displaystyle u_{n}=\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}[/tex]
c) Comme [tex]\displaystyle -1 < \frac{1}{2} < 1[/tex] , alors [tex]\displaystyle \lim_{n \mapsto +\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}=0[/tex] .
On en déduit que :
[tex]\displaystyle \lim_{n \mapsto +\infty} \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}=0[/tex] .
Finalement:
[tex]\lim_{n \mapsto +\infty} u_{n}=0[/tex]
