BONJOUR,
pourriez-vous m'aidez à résoudre cet exercice car je n'y arrive pas merci !

Laurent est souvent de bonne humeur, mais pas tous les jours.
On sait que :
• si Laurent est de bonne humeur un jour donné, la probabilité qu’il soit à nouveau de bonne humeur le
lendemain est égale à 0,7.
• si Laurent n’est pas de bonne humeur un jour donné, la probabilité qu’il soit de bonne humeur le
lendemain est égale à 0,9.
• Laurent était de bonne humeur le 1er janvier.
On note alors l’événement : « Laurent est de bonne humeur le -ième jour de l’année » et on note la
probabilité de l’événement . On a donc .
1. Montrer que, pour tout entier naturel non nul, on a la relation .
(on pourra s’aider d’un arbre pondéré)
2. On pose, pour tout entier naturel non nul, .
a. Montrer que la suite est géométrique. On précisera son premier terme et sa raison.
b. En déduire que, pour tout entier naturel non nul, on a .
c. Déterminer la probabilité que Laurent soit de bonne humeur le 12 janvier.