Bonjour !
1. Quelle est la valeur de p1, p2 et p3 ?
p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5.
2.Proposer une valeur minimale de n.
Bah 3, du coup.
3. On considère le nombre N= p1 * p2 *... * pn +1.
a. Montrer que N n'est pas divisible par p1.
N= p1 * p2 *... * pn +1
<=> N = 2 * p2 *... * pn +1
<=> N = 2 * ( p2 *... * pn ) + 1. On remarque la forme de l'écriture littérale d'un nombre impair. Sachant que p1 = 2 et que les nombres impairs ne se divisent pas par 2, N ne se divise pas par p1.
b. N peut-il être divisible par un des nombres premiers pi ?
Si j'ai bien compris, 2 ≤ i ≤ n c'est ça ?
Raisonnons par l'absurde : disons que N peut se diviser par p_i.
Mettons :
p1 * p2 *... * pn = M
p1 * p2 *... * pn +1 = N.
Notons : N = M+1.
Imaginons que N se divise par p_i. Remarquons que M se divise forcément par p_i (car il l'a dans sa décomposition).
Donc, disons que :
M = p_i * a
N = p_i * b
Avec a et b des entiers naturels. On voit bien que M et N sont multiples de p_i. Mais... N = M+1. Donc :
M = p_i * a, Donc :
N = p_i * b
N = p_i * a + 1
Ainsi :
p_i * a + 1 = p_i * b ( youpi une équation ! )
<=> p_i (a + (1/p_i) ) = p_i( b )
On a factorisé.
<=> a + 1/p_i = b, donc en fait a + 1/p_i est égal à un nombre entier, c'est donc un nombre entier. SAUF QUE :
p_i... Est forcément plus grand ou égal à 2.
Donc la fraction 1 / p_i a un numérateur plus petit que le dénominateur.
En d'autres termes, 1 / p_i < 1. Mais ça reste des nombres positifs, donc :
1 / p_i > 0. Donc : 0 < 1 / p_i < 1.
(1 / p_i) est un nombre décimal.
Et donc a + 1/p_i est un nombre décimal, vu que a est entier, il ne peut pas "compléter" les dixièmes et centièmes de 1/p_i.
Or on a dit que : a + 1/p_i est un nombre entier.
On avait donc tord depuis le début ! N ne se divise ni par p_1, ni par p_2, ni par ...ni par p_n.
c. Que peut-on alors dire de N ?
N et le nombre p1 * p2 *... * pn sont donc premiers entre eux. Il n'ont aucun diviseur commun.
d. Conclure.
N n'est divisible par aucun des nombres premiers compris entre p_1 et p_n.
Il est donc divisible par un autre nombre premier, ou est lui même un nombre premier.
Voilà !