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P(x)=2x² - 2x + 1/4
A) Ecrire P(x) sous la forme canonique
c'est la forme a(x - α)² + β
1) on met 2 en facteur dans 2x² - 2x
2(x² - x)
2) on cherche de quel carré x² - x est le début du développement
(-x étant le double produit). C'est
x² - 2*x*(1/2) + (1/2)² soit (x - 1/2)²
3) on remplace x² - x par (x - 1/2)², comme on ajoute 1/4 on compense en le retranchant
4)
P(x) = 2 [(x - 1/2)² - 1/4] + 1/4
= 2(x - 1/2)² - 2/4 + 1/4
= 2(x - 1/2)² - 1/4
B) En déduire une factorisation de P(x)
2(x - 1/2)² - 1/4 = [√2(x - 1/2)]² - (1/2)²
P(x) = (x√2 - √2/2 - 1/2)(x√2 - √2/2 + 1/2)
C) Résoudre l'équation 2x²-2x+1/4=0
on utilise cette forme factorisée
(x√2 - √2/2 - 1/2)(x√2 - √2/2 + 1/2) = 0
équivaut à
(x√2 - √2/2 - 1/2) = 0 ou (x√2 - √2/2 + 1/2)= 0
x√2 = √2/2 - 1/2 ou x√2 = √2/2 - 1/2
x = (√2/2 - 1/2 )/√2 ou x = (√2/2 + 1/2 )/√2
x = 1/2 - 1/2√2 ou x = 1/2 + 1/2√2
x = 1/2 - √2 /4 ou x = 1/2 + √2 /4
S = {1/2 - √2 /4 ; 1/2 + √2 /4}