Réponse :
2) a) soit k un entier naturel, comparer k/(k+1) et (k+1)/(k+2)
k(k+2)/(k+1)(k+2) = (k² + 2 k)/(k+1)(k+2)
(k+1)²/(k+1)(k+2) = (k²+ 2 k + 1)/(k + 1)(k+ 2)
or k²+2 k < k²+ 2 k + 1 donc k/(k+1) < (k+1)/(k+2)
b) en déduire la comparaison des réels suivants :
A = 1/2) x 3/4) x 5/6) x ..... x 27/28 x 29/30
B = 2/3) x 4/5) x 6/7) x ....... x 28/29) x 30/31
on voit bien que A = Π (k/(k+1) et B = Π(k+1)/(k+2) Π : produit
or k/(k+1) < (k+1)/(k+2) donc Π (k/(k+1) < Π(k+1)/(k+2) donc A < B
c) calculer A x B en déduire que A < 1/√31 < B
après calcul on trouve A ≈ 0.14446 et B = 1/A = 1/0.14446 ≈ 6.52
donc 0.14446 < 1/√31 < 6.52
Explications étape par étape
