Bonjour,
On va calculer f' et l'injecter dans l'équation différentielle.
Soit a et b deux réels et [tex]f : x \mapsto a \cos(x)+ b \sin(x)[/tex].
f est dérivable sur [tex]\mathbb{R}[/tex] et, pour [tex]x \in \mathbb{R}[/tex] :
[tex]f'(x)=-a \sin(x)+b \cos(x)[/tex].
On injecte le résultat dans l'équation différentielle. Pour tout [tex]x \in \mathbb{R}[/tex] :
[tex]-a \sin(x)+b\cos(x)=2a\cos(x)+2b \sin(x)+\cos(x)[/tex].
En particulier, pour x=0: [tex]b=2a+1[/tex]
pour [tex]x=\frac{\pi}{2}[/tex]: [tex]-a=2b \iff a=-2b[/tex].
Puis : [tex]b=2 \times (-2b)+1 \iff b=\frac{1}{5}[/tex] et [tex]a=\frac{-2}{5}[/tex].
Ainsi, [tex]\boxed{f(x)=\frac{\sin(x)}{5}-2\frac{\cos(x)}{5}}[/tex], dont on peut vérifier qu'elle convient.