Réponse :
Explications étape par étape
Bonjour,
[tex]h(x)=-x^2+2x+8[/tex]
1. avec la calculatrice j'ai fait les calculs suivants
x h(x)
-10 -112
-9 -91
-8 -72
-7 -55
-6 -40
-5 -27
-4 -16
-3 -7
-2 0
-1 5
0 8
1 9
2 8
3 5
4 0
5 -7
6 -16
7 -27
8 -40
9 -55
10 -72
11 -91
12 -112
On a l'impression que le maximum est 9 en x = 1 et qu'il n'y a pas de minimum
2.
a.
Nous savons du cours nos identités remarquables
comme par exemple pour tout a et b réels
[tex](a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2[/tex]
Utilison cette formule pour calculer [tex](x-1)^2[/tex]
[tex](x-1)^2 = x^2 - 2x + 1[/tex]
donc [tex]-x^2 + 2x = -(x-1)^2 + 1[/tex]
De ce fait [tex]h(x) = -x^2 + 2x + 8 = -(x-1)^2 + 1 + 8 = -(x-1)^2 + 9[/tex]
b.
[tex]h(x)-9 = -(x-1)^2[/tex]
or [tex](x-1)^2 >= 0[/tex] et on a égalité uniquement pour x = 1
donc h(x) - 9 <= 0 et on a égalité uniquement pour x = 1
h(x) <= 9 et on a égalité uniquement pour x = 1
donc h a un maximum en x = 1 et sa valeur est 9
B.
1.
x h(x)
1 9
2 8
3 5
4 0
5 -7
6 -16
7 -27
8 -40
9 -55
10 -72
11 -91
12 -112
h a tout l'air d'être décroissante pour x > = 1
2.
a. soit u et v deux réels supérieures à 1
[tex]h(u)-h(v) = -(u-1)^2+9-(-(v-1)^2+9)\\= -(u-1)^2+9+(v-1)^2-9\\= (v-1)^2-(u-1)^2[/tex]
utilisons l'identité remarquable
pour tout a et b réels a^2-b^2 = (a-b)(a+b)
[tex]= (v-1-u+1)(v-1+u-1)\\= (v-u)(v-1+u-1)[/tex]
b.
comme u >= 1 nous avons u-1 >= 0
comme v >= 1 nous avons v-1 >= 0
Ainsi v-1+u-1 >= 0
donc le signe de h(u)-h(v) est le signe de (v-u)
donc pour u <= v (v-u) >= 0 donc h(u)-h(v) >= 0 donc h(u) >= h(v)
donc h est décroissante sur [tex][1;+\infty[[/tex]
