Réponse :
Explications étape par étape
Le but de l’exercice est de trouver une équation d’un cercle passant par trois points K, L et M
donnés.
On considère un repère O; i, j orthonormé.
Soient K2;1 , L1; 4 et M5; 4 trois points du plan.
On appelle K’, L’, et M’ les milieux respectifs des côtés LM , KM et KL .
1. Calculer les coordonnées de K’, L’, et M’.
K '( 3 ;4 ) L '( 7/2 ; 5/2) M '( 3/2 ; 5/2)
2. Soit D la droite d’équation x 3y 6 0 . Démontrer que D est la médiatrice du segment
KL .
soit P ( x ;y) un point de D il faut prouver que KP=LP ou
KP² =LP²
KP² =( x -2)² + (y-1)² = x² + y² - 4x -2y + 5
LP² =(x-1)² + (y-4)² = x² +y² -2x -8y + 17
or x -3y +6 = 0 donc x = 3y-6
KP² = x² + y² -4(3y-6) -2y +5 = x² +y² -14y +29
LP² = x² +y² -2(3y-6) -8y + 17 = x² +y² -14y +29 =KP²
3. Déterminer une équation de la médiatrice D’ de KM .
soit P ( x ;y) un point de D' on sait que KP=MP
ou KP² = MP²
KP²= x² + y² - 4x -2y + 5
MP² = (x-5)² + (y-4)² =x²+y²-10x-8y+ 41
KP² = MP² x² + y² - 4x -2y + 5 = x²+y²-10x-8y+ 41
6x +6y - 36 = 0 ou x + y - 6 = 0
4. Calculer les coordonnées du point d’intersection des droites D et D’.
x-3y+6 =0 x = 3y-6 3y-6+y-6=0 4y-12 = 0
y=3 x=9-6=3 intersection point J ( 3 ; 3 )
5. En déduire les coordonnées du centre , le rayon et une équation du cercle cherché.
centre J( 3 ;3 )
rayon JK = √(3-2)² + (3-1)² = √5
equation
(x-3)² + (y-3)² = 5