bjr
on veut montrer qu'il n'existe qu'un seul triangle rectangle dont les mesures des côtés sont 3 entiers consécutifs
1) on prend 3 entiers consécutifs
si le premier est n les suivants sont n + 1 et n + 2
D'après la réciproque du théorème de Pythagore n ; n + 1 et n + 2 sont les mesures des côtés d'un triangle rectangle si et seulement si
(n + 2)² = n² + (n + 1)² (n + 2 mesure du plus grand côté)
n² + 4n + 4 = n² + n² + 2n + 1 (on transpose dans le second membre)
0 = n² - 2n -3
n est solution de cette équation
pour connaître n il faut la résoudre
2)
(n + 1)(n - 3) = n² - 3n + n - 3 = n² - 2n - 3
résolution de l'équation
n² - 2n - 3 = 0 on remplace le 1er membre par la
forme factorisée (n + 1)(n - 3)
(n + 1)(n - 3) = 0 équation produit nul
n + 1 = 0 ou n - 3 = 0
n = - 1 ou n = 3
il y a deux solutions -1 et 3
n est une longueur, la solution -1 (négatif) ne convient pas
il reste 3
la réponse :
pour que 3 nombres consécutifs n, n+1 et n + 2 soient les mesures des côtés d'un triangle rectangle il n'y a qu'une seule possibilité : n = 3
les côtés mesurent alors
3 ; 3 + 1 = 4 ; 3 + 2 = 5
et voilà les nombres 3 , 4 et 5
