Réponse :
Explications étape par étape
Bonjour,
1)
f(0) = 1
f(0.2) = f(0+0.2) = f(0)+0.2f(0) = 1 + 0.2 = 1.2
f(0.4) = f(0.2+0.2) = f(0.2)+0.2f(0.2) = 1.2+0.2*1.2 = 1.2+0.6 = 1.8
cela donne
valeur de x valeur de f par approximation
-3.00 0.00
-2.80 0.00
-2.60 0.00
-2.40 0.00
-2.20 0.00
-2.00 0.00
-1.80 0.00
-1.60 0.00
-1.40 0.00
-1.20 0.00
-1.00 0.00
-0.80 0.04
-0.60 0.19
-0.40 0.48
-0.20 0.80
0.00 1.00
0.20 1.20
0.40 1.68
0.60 2.69
0.80 4.84
1.00 9.68
1.20 21.29
1.40 51.09
1.60 132.84
1.80 371.96
2.00 1115.88
2.20 3570.82
2.40 12140.80
2.60 43706.87
2.80 166086.11
3.00 664344.44
2)
pour un pas de 0.1 ca donne
-1.50 0.00
-1.40 0.00
-1.30 0.00
-1.20 0.00
-1.10 0.00
-1.00 0.00
-0.90 0.00
-0.80 0.00
-0.70 0.02
-0.60 0.06
-0.50 0.15
-0.40 0.30
-0.30 0.50
-0.20 0.72
-0.10 0.90
0.00 1.00
0.10 1.10
0.20 1.32
0.30 1.72
0.40 2.40
0.50 3.60
0.60 5.77
0.70 9.80
0.80 17.64
0.90 33.52
1.00 67.04
1.10 140.79
1.20 309.74
1.30 712.41
1.40 1709.79
1.50 4274.47
3)
pour n entier non nul, [tex]h = \frac{1}{n}[/tex]
[tex]f(x+h) = f(x)+hf(x) = (1+h)f(x)[/tex]
[tex]f(h) = (1+h)f(0)[/tex] comme f(0) = 1
[tex]f(h) = 1+h[/tex]
[tex]f(2h) = f(h+h) = (1+h)f(h) = (1+h)^2[/tex]
[tex]f(3h) = f(2h+h) = (1+h)f(2h) = (1+h)^3[/tex]
pour le n ieme point [tex]f(nh) = (1+h)^n[/tex] (qu il est possible de démontrer par récurrence)
comme [tex]h = \frac{1}{n}[/tex] cela donne
[tex]f(1) = (1+\frac{1}{n})^n[/tex]
b)
Calculons les premiers termes de la suite
0 1
1 2
2 2.25
3 2.37037037
4 2.44140625
5 2.48832
6 2.521626372
7 2.546499697
8 2.565784514
9 2.581174792
10 2.59374246
11 2.604199012
12 2.61303529
13 2.620600888
c)
la suite semble être croissante
calculons un peu plus de termes
n un un+1-un
0 1.0000
1 2.0000 1.0000
2 2.2500 0.2500
3 2.3704 0.1204
4 2.4414 0.0710
5 2.4883 0.0469
6 2.5216 0.0333
7 2.5465 0.0249
8 2.5658 0.0193
9 2.5812 0.0154
10 2.5937 0.0126
11 2.6042 0.0105
12 2.6130 0.0088
13 2.6206 0.0076
14 2.6272 0.0066
15 2.6329 0.0057
16 2.6379 0.0050
17 2.6424 0.0045
18 2.6464 0.0040
19 2.6500 0.0036
20 2.6533 0.0033
21 2.6563 0.0030
22 2.6590 0.0027
23 2.6615 0.0025
24 2.6637 0.0023
25 2.6658 0.0021
26 2.6678 0.0019
27 2.6696 0.0018
28 2.6713 0.0017
29 2.6728 0.0016
30 2.6743 0.0015
31 2.6757 0.0014
32 2.6770 0.0013
33 2.6782 0.0012
34 2.6794 0.0011
35 2.6804 0.0011
36 2.6815 0.0010
37 2.6824 0.0010
38 2.6834 0.0009
39 2.6842 0.0009
40 2.6851 0.0008
41 2.6859 0.0008
42 2.6866 0.0008
43 2.6873 0.0007
44 2.6880 0.0007
45 2.6887 0.0007
46 2.6893 0.0006
47 2.6899 0.0006
48 2.6905 0.0006
49 2.6911 0.0006
50 2.6916 0.0005
51 2.6921 0.0005
52 2.6926 0.0005
53 2.6931 0.0005
54 2.6935 0.0005
55 2.6940 0.0004
56 2.6944 0.0004
57 2.6948 0.0004
58 2.6952 0.0004
59 2.6956 0.0004
60 2.6960 0.0004
61 2.6963 0.0004
62 2.6967 0.0003
63 2.6970 0.0003
la limite semble être autour de 2.7
