Réponse : Bonjour,
a) On calcule les premiers termes de [tex](v_{n})[/tex], pour voir, comment se comporte la suite [tex](v_{n})[/tex].
On calcule [tex]A_{0}A_{1}[/tex].
Dans le triangle [tex]OA_{0}A_{1}[/tex] rectangle en [tex]A_{1}[/tex], on a:
[tex]\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{A_{0}A_{1}}{OA_{0}}\\A_{0}A_{1}=OA_{0} \times \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\\A_{0}A_{1}=4 \times \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}[/tex]
On calcule maintenant [tex]A_{1}A_{2}[/tex].
Pour pouvoir calculer cette longueur, il nous faut calculer [tex]OA_{1}[/tex].
La trigonométrie dans le triangle [tex]OA_{0}A_{1}[/tex] rectangle en [tex]A_{1}[/tex], nous donne:
[tex]\displaystyle \tan\left(\widehat{OA_{0}A_{1}}\right)=\frac{OA_{1}}{A_{0}A_{1}}[/tex]
Il nous faut calculer l'angle [tex]\widehat{OA_{0}A_{1}}[/tex] :
[tex]\displaystyle \widehat{OA_{0}A_{1}}+\widehat{OA_{1}A_{0}}+\widehat{A_{1}OA_{0}}=\pi\\\widehat{OA_{0}A_{1}}=\pi-\widehat{OA_{1}A_{0}}-\widehat{A_{1}OA_{0}}\\\widehat{OA_{0}A_{1}}=\pi-\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}=\frac{6 \pi-3 \pi-2 \pi}{6}=\frac{\pi}{6}[/tex]
On en revient au calcul de [tex]OA_{1}[/tex]:
[tex]\displaystyle OA_{1}=\tan\left(\widehat{OA_{0}A_{1}}\right) \times A_{0}A_{1}\\OA_{1}=\tan\left(\frac{\pi}{6}\right) \times 2\sqrt{3}\\\tan\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\\OA_{1}=\frac{\sqrt{3}}{3} \times 2\sqrt{3}=\frac{2 \times 3}{3}=2[/tex]
On peut enfin calculer [tex]A_{1}A_{2}[/tex].
Dans le triangle [tex]OA_{1}A_{2}[/tex], rectangle en [tex]A_{2}[/tex], on a:
[tex]\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{A_{1}A_{2}}{OA_{1}}\\ A_{1}A_{2}=OA_{1} \times \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\\ A_{1}A_{2}=\tan\left(\frac{\pi}{6}\right) \times A_{0}A_{1} \times \frac{\sqrt{3}}{2}\\ A_{1}A_{2}=\frac{\sqrt{3}}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times A_{0}A_{1}=\frac{3}{3 \times 2}A_{0}A_{1}=\frac{1}{2}A_{0}A_{1}[/tex]
On remarque que les triangles [tex]OA_{0}A_{1}[/tex] et [tex]OA_{1}A_{2}[/tex] ont leurs angles deux à deux égaux, ils sont donc semblables.
Plus généralement les triangles [tex](OA_{n}A_{n+1})_{n \geq 0}[/tex], sont semblables, ils ont leurs côtés deux à deux proportionnels, et comme [tex]\displaystyle A_{1}A_{2}=\frac{1}{2}A_{0}A_{1}[/tex], on en déduit pour tout n entier naturel que:
[tex]\displaystyle A_{n}A_{n+1}=\frac{1}{2}A_{n-1}A_{n}\\v_{n+1}=\frac{1}{2}v_{n}[/tex]
La suite [tex](v_{n})[/tex] est donc une suite géométrique de raison [tex]\displaystyle q=\frac{1}{2}[/tex], et de premier terme [tex]v_{1}=A_{0}A_{1}=2\sqrt{3}[/tex].
b) On utilise la formule de la somme d'une suite géométrique:
[tex]\displaystyle u_{n}=A_{0}A_{1}+A_{1}A_{2}+A_{2}A_{3}+...+A_{n-1}A_{n}=v_{1}+v_{2}+...+v_{n}\\u_{n}=v_{1} \times \frac{1-(\frac{1}{2})^{n}}{1-\frac{1}{2}}=2\sqrt{3} \times 2\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\right)\right)=4\sqrt{3}\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\right)[/tex]
c) Comme [tex]\displaystyle -1 < \frac{1}{2} < 1[/tex], alors [tex]\displaystyle \lim_{n \mapsto +\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{n}=0[/tex], donc:
[tex]\displaystyle \lim_{n \mapsto +\infty} u_{n}=4\sqrt{3}[/tex]
