SNEAKZ
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Bonjour, j'ai des équation différentielle du 2ème ordre a faire mais je n'y arrive vraiment pas, si vous pouvez m'aider sa serais gentil :

Exercice 1 :
Résoudre les équations différentielles suivantes :
a) y'' -2 y' +y = 0 avec f(0)=1 et f '(0)=1
b) y'' -4y'-5y=0 avec f(0)=0 et f '(0)=-6
c) y''-4y'=0 avec f(0)=2 et f '(0)=-2

Exercice 2 :
Soit l'équation différentielle (E) : 2 y'' + y' – y = -t+2
1) Résoudre l'équation homogène associée y'' + y' – y =0
2) Montrer qu'il existe une solution paritculière à (E) qui s'écrit sous la forme fp(t)=at+b avec a et b réels
3) Donner toutes les solutions de l'équation différentielle (E)

Sagot :

TENURF

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape

je vais répondre a l'exercice 2

poste une autre question pour l'exercice 1  stp

(E) 2y'' + y' - y = -t + 2

1)

Commençons par l'équation homogène

2y'' + y' - y = 0

son équation caractéristique est

[tex]2t^2 + t - 1 = 0[/tex]

discriminant = 1 - 4 * (-1*2) = 9

les solutions sont donc

t0 = (-1-3)/4 = -1

t1 = (-1+3)/4 = 1/2

les solutions y de l'équation homogène sont  

pour a et b réels

y(t) = a exp(-t) + b exp(t/2)

2)

trouvons maintenant une solution particulière

prenons en une de la forme f(t)=at+b

f'(t) = a

f'' (t) = 0

2f''(t) + f'(t) - f(t) = a - at - b  

et cela doit être égale à -t+2

du coup, nous avons les contraintes suivantes

-a = -1

a-b = 2

d'où a = 1 et b = 1-2 = -1

f est donc de la forme f(t) = t-1

3)

Maintenant nous pouvons conclure

les solutions de l'équation (E) sont les fonctions de la forme

y(t) = t - 1 + a exp(-t) + b exp(t/2)

avec a et b réels