Réponse : Bonjour,
1)a) On suppose que [tex]M \in C[/tex], alors AM=5:
[tex]AM=5\\\sqrt{(x-2)^{2}+(0-3)^{2}}=5\\(\sqrt{(x-2)^{2}+(0-3)^{2}})^{2}=25\\(x-2)^{2}+9=25\\(x-2)^{2}=16[/tex]
Donc si [tex]M(x;0) \in C[/tex], alors [tex](x-2)^{2}=16[/tex].
Supposons maintenant que [tex](x-2)^{2}=16[/tex], et montrons que [tex]M \in C[/tex].
Pour cela, il faut montrer que AM=5.
[tex]AM=\sqrt{(x-2)^{2}+(0-3)^{2}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5[/tex].
Donc [tex]M \in C[/tex].
On en déduit que [tex]M \in C[/tex], si et seulement si (x-2)²=16.
b) Résolvons l'équation [tex](x-2)^{2}=16[/tex].
En posant X=x-2, l'équation devient X²=16, et on sait dans ce cas, que les solutions sont -4 et 4.
Donc l'équation de départ revient à résoudre:
[tex]x-2=-4 \quad ou \quad x-2=4\\x=-2 \quad ou \quad x=6[/tex]
Donc les solutions de (x-2)²=16, sont x=-2, et x=6.
Donc les coordonnées des points d'intersection de C et de l'axe des abscisses, sont (-2;0) et (6;0).
2)a) On suppose que [tex]N(0;y) \in C[/tex]. Alors on a que AN=5.
[tex]AN=5\\\sqrt{(0-2)^{2}+(y-3)^{2}}=5\\(\sqrt{(0-2)^{2}+(y-3)^{2}})^{2}=25\\(0-2)^{2}+(y-3)^{2}=25\\(y-3)^{2}+4=25\\(y-3)^{2}=21[/tex]
Donc si [tex]N \in C[/tex], alors [tex](y-3)^{2}=21[/tex].
On suppose maintenant que (y-3)²=21.
Montrons que [tex]N \in C[/tex], c'est à dire que AN=5.
[tex]AN=\sqrt{(0-2)^{2}+(y-3)^{2}}=\sqrt{4+21}=\sqrt{25}=5[/tex].
Donc [tex]N \in C[/tex].
Donc [tex]N \in C[/tex], si et seulement si (y-3)²=21.
b) En posant Y=y-3, alors l'équation (y-3)²=21, devient Y²=21, qui a pour solutions [tex]-\sqrt{21}[/tex] et [tex]\sqrt{21}[/tex].
Il nous faut donc résoudre les deux équations suivantes:
[tex]y-3=-\sqrt{21} \quad ou \quad y-3=\sqrt{21}\\y=3-\sqrt{21} \quad ou \quad y=3+\sqrt{21}[/tex]
Donc les points d'intersection de C et de l'axe des ordonnées sont [tex](3-\sqrt{21};0)[/tex] et [tex](3+\sqrt{21};0)[/tex].