Voici la résolution de cette égalité, avec les explications supplémentaires en italiques.
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On commence par simplifier l'écriture, en mettant tout du mếme côté, puis en simplifiant la fraction :
On a : (2x² - 10x + 5) / (x + 2) = x - 3 Égalité initiale
si (2x² - 10x + 5) / (x + 2) - x + 3 = 0 On soustrait x et additionne 3 de chaque côté
(2x² - 10x + 5) / (x + 2) - (x - 3) = 0 On réunit l'expression (-x + 3)
(2x² - 10x + 5) / (x + 2) - (x - 3) (x + 2) / (x + 2) = 0 Pour la multiplier par
(x + 2) / (x + 2)
et tout mettre au même
dénominateur (x + 2)
(2x² - 10x + 5) / (x + 2) - (x² + 2x - 3x - 6) / (x + 2) = 0 On développe
(2x² - 10x + 5) / (x + 2) + (-x² - 2x + 3x + 6) / (x + 2) = 0 On change le signe
(2x² - 10x + 5 - x² + x + 6) / (x + 2) = 0 Pour additionner facilement les fractions
de même dénominateur
(x² - 9x + 11) / (x + 2) = 0 qui est définie si x + 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ -2
puisqu'un dénominateur ne peut jamais être nul
On peut alors étudier les racines de l'équation ainsi réécrite :
Cette équation-quotient est nulle si son numérateur est nul, soit si : x² - 9x + 11 = 0
Or le discriminant de x² - 9x + 11 est : Δ = (-9)² - 4(1)(11) = 81 - 44 = 37
car pour une équation ax² + bx + c, le discriminant est : Δ = b² - 4ac
Comme ce discriminant est strictement positif, l'équation admet deux racines :
— (-b - √Δ) / 2a = (9 - √37) / 2(1) = (9 - √37)/2 ≈ 1,459
— (-b +√Δ) / 2a = (9 + √37) / 2(1) = (9 + √37)/2 ≈ 7,541
Ces racines étant toutes deux différentes de -2 se trouvent bien dans l'ensemble de définition de l'équation.
Les solutions sont donc : x ∈ { 9/2 - √37/2 ; 9/2 + √37/2 }
