1. | Étape | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Longueur de la spirale en cm | 2 | 6 | 12 | 20 | 30 |
| Nombre de points alignés | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
2. On peut voir qu'à chaque étape n, on ajoute 2n au nombre obtenu à l'étape précédente.
En effet, pour :
— n = 1, on a : 0 + 2(1) = 2
— n = 2, on a : 2 + 2(2) = 6
— n = 3, on a : 6 + 2(3) = 12
— n = 4, on a : 12 + 2(4) = 20
— n = 5, on a : 20 + 2(5) = 30
Ce qui fait qu'à chaque étape on a :
2 (n) + 2 (n - 1) + … + 2(2) + 2 (1)
soit
2 (n + n - 1 + … + 2 + 1)
[Par exemple pour n = 5 : 2(1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 2 × 15 = 30]
Or la somme des n premiers nombre est : k = (n)(n+ 1)/2
La longueur de la spirale au rang n sera donc ici :
k = 2 × [(n)(n + 1)/2]
= n(n + 1)
Donc la longueur de la spirale est de 870 cm pour n points alignés et l'on a :
n(n + 1) = 870
On peut alors essayer à tâtons : 29 × 30 = 870 donc n = 29
ou par le calcul :
Or n(n + 1) = 870 si n² + n - 870 = 0
Pour cette équation, le discriminant est : 1² - 4(1)(-870) = 3481 = 59²
qui est un nombre positif. Il y a donc deux solutions à l'équation :
— (-1 - 59)/2(1) = -60/2 = - 30
— (-1 + 59)/2(1) = 58/2 = 29
Comme le nombre de points ne saurait être négatif, la solution est donc 29.
La longueur de la spirale est donc de 870 cm s'il y a 29 points alignés.
