on considere les paraboles P1 et P2 d'équations respectives:
[tex]y=x^2+1 [/tex] et [tex]y=-x^2-1[/tex]
on se propose de determiner le nombre de tangentes communes aux deux courbes et les coordonnées des points de contact.
1/ tracer ces deux paraboles dans un repére
2/ soit a le point de contact, d'abscisse a , de l'une des tangentes avec la courbe p1.
b est le point de contact de la même tangente avec la courbe P2 .
en utilisant la symétrie de la figure, determiner les coordonnées de A et B
Soit y = ax + b l'équation de la tangente
pour être tangente )à la parabole, il faut que l'équation ausx abscisses des points d'intersection ait un réalisant nul.
donc
y = x² + 1
x² + 1 = ax + b => x² - ax + 1 - b = 0
y = ax + b delta = a² - 4 + 4b = 0
tangente commune danc
y = -x² - 1
-x² - 1 = ax + b => -x² - ax - b - 1 = 0
y = ax + b delta = a² - 4b - 4 = 0
a² - 4b - 4 = 0 => a² - 4b = 4
=> 8b = 0 => b = 0 d'ou a² = 4 => a = -2 ou a = 2
a² - 4 + 4b = 0 => a² + 4b = 4
les tangentes sont donc y = 2x et y = -2x
