Pouvez vous m'aider, merci d'avance :
On condifère la fonction ln, sa représentation graphique C et la tangente T à C au point d'abscisse 1.
1)a) Montrer que la tangente T a pour équation y= x-1.
b) Calculer ln(x) et x-1 pour: x=0.8, x=0.9, x=1.1 et x=1.2
2) Pour tout réel x proche de 1, dans [0.75;1.3], on pose f(x)= x-1-ln(x).
a) Etudier les varations de la fonction f. Dresser le tableau de variations de f sur [0.75;1.3], en précisant les valeurs aux bornes de l'intervalle, arrondies à 0.001 près.
b)Montrer que, pour tout réel x entre 0.75 et 1.3, la déffirence entre ln(x) et x-1 reste inférieur à 0.04.
3) On admet que, pour x=1, alors ln(x)= x-1
a) En Ariège, en 2008, le nombre d'habitants était de 150 200. La population augmente chaque année de 1.3%. En supposant que cette évolution se poursuit, exprimer la population P(x) en 2008+x.
Montrer que cette population peut s'écrire: P(x)= 150 200 e^0.013x
b) Pour la Loire-Atlantique, on modélise la population de l'année 2005+x, en million, par: L(x)= 1.256e^0.006x
Par lecture, donner le taux de variation annuel. Vérifier par le calcule de [tex]\frac{L(x+1) - L(x)}{L(x)} [/tex]
en x=1 ln(x)=0 et sa dérivée 1/x vaut 1 donc T c'est y-0=1(x-1) soit y=x-1
ln(0.8)=-0,223 0,8-1=-0,2
ln(0,9)=-0,105 e 0,9-1=-0,1
ln(1.1)=0,095 et 1.1-1=0.1
ln(1.2)=0,182 et 1.2-1=0.2
pour 2 : dérivée 1-1/x a le signe de x-1puique x>0
f(x) est donc decroissante sur 0,75;1 et croissante ensuite.
f(0.75)<0,038 et f(1)=0 et f(1.3)<0.038 donc la differnce x-1 -ln(x) ne depasse jamais 0.04
le reste est application numerique toute simple.
