Bonsoir,
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Limites de fonctions
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[tex] \sf Soit \: f(x) \: la \: fonction \: d\acute{e}finie \: sur \: \mathbb{R} \: par: \\ \sf f(x) = 2x - sin(x) [/tex]
Commençons par poser notre inégalité :
[tex] \sf - 1 \leqslant \sin(x) \leqslant 1[/tex]
Faisons à présent en sorte d'obtenir l'expression de la fonction f(x) "au milieu" de l'inégalité :
[tex] \sf - 1 \leqslant \sin(x) \leqslant 1 \: \: \\ \sf 1 \geqslant - \sin(x ) \geqslant - 1 \\ \sf 1 + 2x\geqslant - \sin(x) + 2x \geqslant - 1 + 2x \\ \sf 2x + 1 \geqslant f(x) \geqslant 2x - 1[/tex]
[tex] \\ [/tex]
Nous allons maintenant nous concentrer et tenter de comprendre que nous allons devoir faire appel à nos connaissances sur le théorème de comparaison qui est le suivant :
[tex]\sf Si \: g(x) \: et \: w(x) \: sont \: deux \: fonctions \: d\acute{e}finies \: sur \: \mathbb{R} \: telles \: que: \\ \bullet \: \sf g(x) \geqslant w(x) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \bullet \: \sf \lim_{x \to +\infty} w(x) = + \infty \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf Alors \: \lim_{x \to +\infty} g(x) = + \infty \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: [/tex]
[tex]\boxed{2} \: \sf Si \: g(x) \: et \: w(x) \: sont \: deux \: suites \: d\acute{e}finies \: sur \: \mathbb{R} \: telles \: que: \\ \bullet \: \sf g(x) \leqslant w(x) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \bullet \: \sf \lim_{x \to +\infty} w(x) = - \infty \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf Alors \: \lim_{x \to +\infty} g(x) = - \infty \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: [/tex]
[tex] \\ [/tex]
On peut à présent utiliser nos connaissances pour déterminer les limites en +∞ et -∞ de la fonction f.
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Concentrons-nous d'abord sur la limite en +∞ de f(x):
[tex] \sf \lim_{x \to +\infty} 2x + 1 = + \infty \\ \\ \sf \lim_{x \to +\infty} 2x - 1 = + \infty \\ \\ \\ \sf Or \: f(x) \geqslant 2x - 1 \\ \implies \boxed{\sf \lim_{x \to +\infty} f(x) = + \infty }[/tex]
[tex] \\ [/tex]
Passons dès maintenant à la limite de f(x) en -∞:
[tex] \sf \lim_{x \to - \infty} 2x + 1 = - \infty \\ \\ \sf \lim_{x \to - \infty} 2x - 1 = - \infty \\ \\ \\ \sf Or \: 2x + 1 \geqslant f(x)\\ \implies \boxed{\sf \lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty }[/tex]
[tex] \\ \\ [/tex]
Bonne soirée.
