Bonsoir, voici la réponse à ton exercice :
On pose [tex]f[/tex], la fonction définie sur [tex]\mathbb{R}^*[/tex] tel que :
[tex]f(x) = (x + \frac{1}{x})^2[/tex]
Pour déterminer sa dérivée, nous pouvons effectivement utiliser la fonction de dérivée d'une fonction composée, car on reconnaît rapidement que la fonction [tex]f[/tex] est une fonction puissance composée d'une fonction polynômiale. Mais ! Pourquoi s'embêter ?
Ne connaissons-nous pas une identité remarquable remarquablement utile pour résoudre (a + b)² ? Hé oui !
On aura donc :
[tex]f'(x) = (x^2 + 2 + \frac{1}{x^2})'[/tex]
Puis d'après un moyen mnémotechnique de mon professeur :
"La dérivée d'une somme est la somme des dérivées"
D'où :
[tex]f'(x) = (x^2)' + (2)' + (x^{-2})'[/tex]
[tex]f'(x) = 2x + 0 -2x^{-3}[/tex]
En remettant en forme correcte
[tex]f'(x) = 2x - \frac{2}{x^3}[/tex]
En factorisant les 2
[tex]f'(x) = 2(x - \frac{1}{x^3})[/tex]
Et en mettant au même dénominateur
[tex]f'(x) = 2\frac{x^4 - 1}{x^3}[/tex]
En espérant t'avoir aidé au maximum !
Joyeux Noël :)
