Bonsoir,
D'après l'énoncé, on a :
De plus, on pose [tex]AM=x[/tex].
Donc [tex]MB=AB-AM=6-x[/tex].
On en déduit que les aires des carrés [tex]AMFE[/tex] et [tex]MBHG[/tex] correspondent respectivement à [tex]AM^{2}[/tex] et [tex]MB^{2}[/tex].
Soit :
- [tex]AM^{2}=x \times x=x^{2}[/tex]
- [tex]MB^{2}=(6-x)^{2}[/tex]
→ On appelle [tex]\mathcal{A}[/tex] la somme des aires des carrés [tex]AMFE[/tex] et [tex]MBHG[/tex].
Ainsi : [tex]\mathcal{A}=x^{2} +(6-x)^{2}[/tex]
On développe et simplifie cette expression, ce qui donne :
- [tex]\mathcal{A}=x^{2} +6^{2}-2\times 6\times x+x^{2} =2x^{2} -12x+36[/tex]
→ On détermine désormais la position du point [tex]M[/tex] pour que l'aire [tex]\mathcal{A}[/tex] soit minimale.
Or, l'aire [tex]\mathcal{A}[/tex] est donnée par une fonction polynôme du second degré avec [tex]a=2 > 0[/tex] et on sait que la courbe représentative de cette fonction est une parabole.
Ainsi, le sommet de la parabole correspond au point ayant une abscisse la plus faible.
Appelons [tex]S[/tex] le sommet et déterminons ces coordonnées [tex](\alpha ;\beta )[/tex].
On a alors :
- [tex]\alpha =\dfrac{-(-12)}{2\times 2}=3[/tex]
Et donc :
- [tex]\beta =f(\alpha )=f(3)=18[/tex]
Soit [tex]S(3;18)[/tex].
Cela signifie que le point [tex]M[/tex] doit se trouver à 3 unités du point [tex]A[/tex] (et en étant sur [tex][AB][/tex]) telle que l'aire [tex]\mathcal{A}[/tex] soit minimale.
En espérant t'avoir aidé.
