Bonsoir, j’ai un dm a faire pour mercredi mais je n’y arrive pas. Pouvez-vous m’aidez svp

Exercice:

Un tétraèdre ABCD possède six arêtes (AB) et (CD). (BC) et (AD), (CA) et (BD) qui déterminent trois paires d'arêtes dites « opposées ».
La droite passant par A et orthogo-
nale au plan (BCD) est appelée
hauteur issue de A, on la
note (h). On définit de
même (hg). (hc), (hd).
Le tétraèdre ABCD est dit orthocentrique si les
quatre hauteurs sont concourantes

1. On suppose que (ha) et (hb) sont un point commun H.

a. Montrer que (ha) et (hb) définissent un plan (P) et
que (CD) est perpendiculaire à (P).

b. En déduire que (AB) et (CD) sont orthogonales.

c. Soit E = (P) n (CD). À l'aide de triangles rectangles, montrer que
AC²-AD² = BC²-BD² = EC² - ED².

2. Montrer que dans un tétraèdre orthocentrique, le pied de
la hauteur sur une face est l'orthocentre de cette face et
que AB²+CD² = AC² + BD² = AD²+ BC².

3. Réciproquement, on suppose que (AB) et (CD) sont
orthogonales. Soit E le pied de la hauteur issue de B dans le triangle BCD.

a. Montrer que les hauteurs issues de A et B dans le triangle ABE sont des hauteurs du tétraèdre.

b. En déduire que (ha) et (hb) sont sécantes en un point H.

c. Montrer que (AB) est perpendiculaire à (CDH).

d. En déduire que (CH) et (AB) sont orthogonales, ainsi que les droites (DH) et (AB).

4. On suppose de plus que (AC) et (BD) sont orthogonales.

a. Montrer que (CH) est la hauteur issue de C du tétraèdre.

b. Déduire de 1. que (AD) et (BC) sont orthogonales.

c. En déduire que (DH) est la quatrième hauteur du tétraèdre.

d. Énoncer une condition suffisante pour qu'un tétraèdre soit orthocentrique.