Sagot :
Réponse :
Explications étape par étape :
Bonjour
1) a) Soit Un+1 = f(Un)
2Un^2 = l
b) l'unicité de la limite donne l solution de l'équation f(l) =l
soit 2l)^2 = l
2l^2 - l = 0
l(2l - 1) = 0
l = 0 ou 2l-1 = 0
l = 0 ou l = 1/2
2) a) Initialisation U1= 2X1^2 = 2 >= 1 la propriété est vraie pour n = 1
Hérédité :
admettons Un >= 1
Un^2 >=1²
Un^2 >= 1
et 2Un^2 >= 2 donc 2Un^2 >= 2
si Un >= 1 alors U +1 >= 1
L'hérédité est vérifiée
La propriété est héréditaire et vraie pour n = 1; elle est donc vraie pout tout entier naturel >=1
b) Un>= 1 donc la limite ne peut être égal à 0 ou 0,5; la suite n'est donc pas convergnete, elle est donc divergente
3)
a) Soit U0 = 0,25 alors lim Un = 0
(La suite est décroissante et minorée par zéro elle est donc convergente
b) C'est impossible
Bonjour,
u₀ = 1 ; uₙ₊₁ = 2 uₙ²
1.a. Si lim uₙ = l alors lim (2 uₙ²) = 2l²
b. lim uₙ = lim uₙ₊₁ ⇔ l = 2l² ⇔ l = 0 ou l = 0,5
c. u₀ = 1 ⇒ u₀ ≥ 1
Soit n un entier naturel tel que uₙ ≥ 1
On a 2 uₙ² ≥ 2
Soit uₙ₊₁ ≥ 1
Nous avons ainsi démontrer par récurrence que pour tout entier n :
uₙ ≥ 1
2.a. de la question précédente, on peut déduire que si (uₙ) est convergente alors sa limite est supérieure ou égale à 1
b. Supposons que (uₙ) est une convergente.
D'après la question 1, sa limite est soit 0 soit 0,5
Absurde selon la question 2.a
Nous avons ainsi démontrer par l'absurde que (uₙ) est divergente.
3.a. Si -0,5 < u₀ < 0,5 alors 0 < u₁ < 0,5 et la suite (uₙ) est décroissante à partir du rang 1
(on peut le montrer en étudiant la fonction x → x - 2x² sur ]0 ; 0,5[)
A partir du rang 1, (uₙ) est décroissante et bornée ( 0 < uₙ < 0,5 pour tout n>0)
Elle est donc convergente.
On en déduit que sa limite est 0
b. Si |u₀| = 0,5 alors u₁ = 0,5
Et on montre par récurrence que uₙ = 0,5 pour tout n > 0
La suite est donc constante à partir du rang 1
Elle est ainsi convergente de limite 0,5