Bonjour,
Principe du raisonnement par contraposition :
Pour montrer [tex]A \Rightarrow B[/tex], on montre [tex]\text{non($B$)} \Rightarrow \text{non($A$)}[/tex].
Soient a et b deux réels.
On veut donc montrer : [tex](b>a) \Rightarrow [\exists x \in \mathbb{R}, a<x \text{ et } b\ge x][/tex].
Supposons donc [tex]b>a[/tex].
Par définition, puisque b est un réel strictement supérieur à a, on peut trouver un réel x strictement entre les deux (par exemple [tex]x=\frac{a+b}{2}[/tex]).
Ainsi, [tex]a<x<b[/tex].
On a bien trouvé un réel x tel que [tex]a<x[/tex] et [tex]b\ge x[/tex].
Ainsi : [tex](b>a) \Rightarrow [\exists x \in \mathbb{R}, a<x \text{ et } b\ge x][/tex]
donc, par contraposition : [tex]\boxed{\lkeft[(\forall x \in \mathbb{R}) : (a<x \Rightarrow b<x)\right] \Rightarrow (b \le a)}[/tex].
