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Devoir Maison n°5: Exercice 1: Pour remercier Sissa d'avoir inventé le jeu des échecs, un roi indien lui permet de réaliser un de ses souhaits. Sissa demande : « Sur la première case de l'échiquier placez un grain de riz, puis sur la case suivante doublez le nombre de grains de riz, et ainsi de suite sur les 64 cases de l'échiquier ». G 14 14 iiiiiii 510 A première vue, le roi ne voit pas où est le problème, Aiiiiiii mais il se rend vite compte du problème après quelques cases. 1) Combien y aura-t-il de grains de riz sur la vingtième case? Et sur la dernière? 2) Combien y aura-t-il de grains de riz au total sur l'échiquier ? 3) En considérant qu'un grain de riz pèse environ 0,04 g, déterminer la masse de riz demandée par Sissa. 4) Sachant que la production mondiale de riz est de 700 millions de tonnes par an, combien d'années faudrait-il au monde pour satisfaire la demande de Sissa?​

Sagot :

MOZI

Bonjour,

1 ) On note Uₙ le nombre de grains de riz sur la nième case.

U₁ = 1 = 2⁰ ; U₂ = 2 = 2¹ ; U₃ = 2² ; U₄ = 2³...

En général Uₙ = 2ⁿ⁻¹

(Uₙ) est une suite géométrique dont le premier terme (d'ordre 1) est 1 et la raison est 2

on en déduit que U₂₀ = 2¹⁹ et que U₆₄ = 2⁶³

2 ) On note que (Uₙ) est une suite géométrique dont le premier terme (d'ordre 1) est 1 et la raison est 2

On note Sₙ = U₁ + U₂ + ... + Uₙ

On cherche donc à calculer les 64 premiers termes de la suite (Uₙ) ce qui correspond à S₆₄

2 Sₙ = 2 U₁ + 2 U₂ + ... 2 U₆₃ + 2 U₆₄

⇔ 2 Sₙ = U₂ + U₃ + ...+ U₆₄ + U₆₅

⇔ Sₙ = 2 Sₙ - Sn = (U₂ + U₃ + ...+ U₆₄ + U₆₅) - (U₁ + U₂ + ... + Uₙ)

⇔ Sₙ = U₆₅ - U₁ = 2⁶⁵ - 1

I l y aura donc 2⁶⁵ - 1 grains de riz au total sur l'échiquier.

3 ) La masse du riz demandée par Sissa (en grammes) est :

M = (2⁶⁵ - 1) × 0,04 g = 2⁶⁵ × 0,04 g - 0,04 g  = 2⁶⁵ / 25 - 0,04 ≈ 2⁶⁵ / 25 ≈ 1,5 × 10¹⁸ g ≈ 1,5 × 10¹² tonnes

4) il faudrait 1,5 × 10¹² / 700 × 10⁶ ≈ 2 143 années pour satisfaire la demande de Sissa.