Bonjour, voici la réponse à ton exercice :
[tex]Pour \ x \in \mathbb{R}[/tex],
[tex]- x^2 + 10x + 39 > 0[/tex]
On pose le discriminant Δ de l'équation, tel que :
Δ = b² - 4ac
Δ = 10² - 4 × (-1) × 39
Δ = 100 + 156
Δ = 256 = 16²
Puis on aura :
[tex]x_1 = \frac{-10 + 16}{-2} = -\frac{6}{2} = - 3[/tex]
[tex]x_2 = \frac{- 10 - 16}{-2} = \frac{26}{2} = 13[/tex]
Donc l'ensemble des nombres compris dans l'intervalle [tex]- 3 < x < 13[/tex], vérifient l'inéquation.
[tex]Pour \ x \in ] - \infty ; - 3 [ \cup ] - 3 ; 2 [ \cup ] 2 ; + \infty [[/tex],
[tex]\frac{-3x + 1}{2 - x} \leq \frac{-4x + 5}{x + 3}[/tex]
⇔ [tex]\frac{-3x + 1}{2 - x} -\frac{-4x + 5}{x + 3} \leq 0[/tex]
⇔ [tex]\frac{-7x^2 + 5x - 7}{(2 - x)(x + 3)} \leq 0[/tex]
Le discriminant de l'équation du numérateur étant négatif, on ne peut pas résoudre ce même numérateur dans [tex]\mathbb{R}[/tex], mais on peut résoudre celle du dénominateur :
[tex](2 - x)(x + 3) \leq 0[/tex]
⇔ [tex]x \leq 2 \ ou \ x \geq - 3[/tex]
Or, [tex]x[/tex] ne peut être égal à 2 ou - 3 car ça reviendrait à diviser par zéro, et on a exclut 2 et - 3 dans le domaine de définition posé juste au-dessus. On aura donc :
[tex]x < 2 \ ou \ x > -3[/tex]
⇔ [tex]-3 < x < 2[/tex]
Donc l'ensemble des nombres compris dans l'intervalle [tex]-3 < x < 2[/tex], vérifient l'inéquation.
En espérant t'avoir aidé au maximum !
