Bonjour,
1)
Je trouve plus logique de commencer par le b)
Déjà nous pouvons remarquer que 0 n'est pas solution de (1) car 1 est différent de 0.
a) Si un réel x est solution de (1) alors, x est différent de 0 et
[tex]\dfrac1{x}[/tex], qui est bien défini, est alors solution de (1).
En effet,
[tex]\dfrac1{x^4}+10\dfrac1{x^3}+26\dfrac1{x^2}+10\dfrac1{x}+1=\dfrac{1+10x+26x^2+10x^3+x^4}{x^4}[/tex]
2)
Soit x réel, (1) devient
[tex]\dfrac{x^4+10x^3+26x^2+10x+1}{x^2}=x^2+10x+26+\dfrac{10}{x}+\dfrac1{x^2}=0[/tex]
2)
a)
Identité remarquable, soit x réel non nul
[tex]X^2=\left( x+\dfrac1{x}\right)^2=x^2+2*x*\dfrac1{x}+\dfrac1{x^2}\\\\=x^2+2+\dfrac1{x^2}[/tex]
b)
il suffit de regrouper les termes de (2) et en utilisant le a)
[tex]x^2+\dfrac1{x^2}=X^2-2[/tex]
donc (2) devient
[tex]X^2+10X+26-2=X^2+10X+24=0[/tex]
3)
le produit des racines est 24 = (-4) * (-6)
et leur somme est -10 (-4) + (-6)
Donc les racines sont -4 et -6.
On peut aussi utiliser le discriminant.
4)
Maintenant, pour résoudre (1) il nous reste à resoudre
[tex]x+\dfrac1{x}=-4[/tex]
et
[tex]x+\dfrac1{x}=-6[/tex]
d'où les questions 4) et 5)
multiplions par x, cela donne
[tex]x^2+1=-4x \Leftrightarrow x^2+4x+1=0[/tex]
Nous savons du cours comment trouver les solutions avec le discriminant
[tex]\Delta=4^2-4=12=3*2^2[/tex]
Comme le discriminant est strictement positif il y a deux solutions distinctes qui sont
[tex]x_1=\dfrac{-4+2\sqrt{3}}{2}=-2+\sqrt{3}\\\\x_2=\dfrac{-4-2\sqrt{3}}{2}=-2-\sqrt{3}\\\\[/tex]
5)
multiplions par x, cela donne
[tex]x^2+1=-6x \Leftrightarrow x^2+6x+1=0[/tex]
Nous savons du cours comment trouver les solutions avec le discriminant
[tex]\Delta=6^2-4=36-4=32=2*4^2[/tex]
Comme le discriminant est strictement positif il y a deux solutions distinctes qui sont
[tex]x_1=\dfrac{-6+4\sqrt{2}}{2}=-3+2\sqrt{2}\\\\x_2=\dfrac{-6-4\sqrt{2}}{2}=-3-2\sqrt{2}\\\\[/tex]
6)
Les solutions de l'équation (1) sont donc
[tex]\boxed{\boxed{S=\{-2+\sqrt{3};-2-\sqrt{3}; -3-2\sqrt{2};-3+2\sqrt{2} \}}}[/tex]
Merci
