Bonjour,
1) Comme:
f est une fonction continue sur IR car composée et somme de fonctions qui le sont.
[tex]f(0)=g(-1)-g(0)\leq 0[/tex]
car g est une fonction croissante
et
[tex]f(2)=g(3)-g(2)\geq 0[/tex]
pour la même raison
De ce fait, nous pouvons appliquer le TVI et conclure qu'il existe un réel dans [0;2] tel que f(x)=0
2)
Plus généralement, il s'agit de comparer pour x réel
[tex]x^2-1 ~et~x[/tex]
Etudions le trinôme
[tex]x^2-x-1[/tex]
son discriminant est
[tex]\Delta = 1^2+4=5[/tex]
Comme il est strictement positif le trinôme admet deux racines distinctes
[tex]x_1=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\\\\x_2=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\\\\[/tex]
Nous savons du cours que ce trinôme est négatif entre les racines car le coefficient du monome dominant est 1 >0.
De ce fait, pour tout réel compris entre [tex]x_1[/tex] et [tex]x_2[/tex]
[tex]x^2-1\leq x \Leftrightarrow g(x^2-1)\leq g(x)\\\\\Leftrightarrow f(x) \leq 0[/tex]
et pour tout réel à l'extérieur des racines donc en particulier pour [tex][2;+\infty[[/tex]
, car [tex]\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} < \dfrac{1+\sqrt{9}}{2}=2[/tex], nous avons
[tex]f(x) \geq 0[/tex]
Et on applique à nouveau le TVI, ce qui termine la démonstration.
3)
La solution n'est pas unique car
En fait, il y a deux solutions pour f(x)=0
Exercice intéressant
Merci