Bonjour,
P.A:
1.a ) Chaque année, le nombre de panneaux (soit uₙ₊₁) correspond à 100% - 2% = 0,98 des panneaux de l'année précédente soit (0,98 uₙ) plus 250 nouveaux panneaux.
Ce qui donne :
uₙ₊₁ = 0,98 uₙ + 250 avec u₀ = 10 560 (nombre de panneaux en 2020)
1.b ) Au bout de 68 ans (68 itérations)
c )
u = 10560
n = 0
while u < 12000:
u = 0.98*u+250
n = n+1
2 ) u₀ ≤ 12500
Soit n un entier naturel tel que uₙ ≤ 12500
On a 0,98 uₙ + 250 ≤ 0,98 × 12500 + 250
Or 0,98 × 12500 + 250 = 12500
On en déduit que 0,98 uₙ + 250 ≤ 12500
Ce qui équivaut à uₙ₊₁ ≤ 12500
Nous avons ainsi démontrer par récurrence que uₙ ≤ 12500 pour tout entier n.
3 ) Soit n un entier naturel.
uₙ₊₁ - uₙ = 0,98 uₙ + 250 - uₙ = 250 - 0,02 uₙ
D'autre part, uₙ ≤ 12500 ⇔ 0,02 uₙ ≤ 250 ⇔ 250 - 0,02 uₙ ≥ 0
⇔uₙ₊₁ - uₙ ≥ 0
Ce qui nous permet de déduire que (uₙ) est une suite croissante.
4 ) (uₙ) est une suite convergente car elle est croissante et majorée.
5.a ) Soit n un entier naturel.
vₙ₊₁ / vₙ = (uₙ₊₁ - 12500) / (uₙ - 12500) = 0,98 uₙ - 12250) / (uₙ - 12500)
vₙ₊₁ / vₙ = 0,98 (uₙ - 12500) / (uₙ - 12500) = 0,98
On en déduit que (vₙ) est une suite géométrique de premier terme v₀ = -1940 et dont la raison est 0,98
5.b ) vₙ = v₀ . (0,98)ⁿ = -1940 × (0,98)ⁿ
5.c ) uₙ = 12500 - 1940 × (0,98)ⁿ
5.d ) 0,98 <1 ⇒ lim (0,98)ⁿ = 0
On en déduit que lim uₙ = 12500
En augmentant le nombre de panneaux et en s'approchant de 12500 panneaux au total, le nombre de panneaux défaillants par an (2% des panneaux) va s'approcher de 250 ce qui va induire une situation où le nombre de nouveaux panneaux correspondra exactement au nombre de panneaux défaillants (soit 250). Le nombre de panneaux va ainsi se stabiliser à 12500.
PB :
1 ) f'(x) = -500 × (-0,02) exp(-0,02x + 1,4) = 10 exp(-0,02x + 1,4) > 0
f est donc strictement croissante sur Df.
2 ) [tex]lim_{x - > +}[/tex]∞ exp(-0,02x + 1,4) = 0 soit [tex]lim_{x - > +}[/tex]∞ f(x) = 12 500
3 ) f(x) > 12 000 ⇔ 12 500 - 500 exp(-0,02x + 1,4) > 12 000
⇔ 500 exp(-0,02x + 1,4) < 500
⇔ exp(-0,02x + 1,4) < 1
⇔ exp(-0,02x + 1,4) < exp(0)
⇔ -0,02x + 1,4 < 0
⇔ x > 1,4/ 0,02
⇔ x > 70
Le nombre de panneaux dépassera 12000 à la 71e année.
f(70) = 12000 ; f(71) ≈ 12 010
