Bonjour,
1 ) On a 1³ - 7 × 1 + 6 = 1 - 7 + 6 = 0
x₀ = 1 est donc une solution de l'équation (E)
2 ) Pour tout x dans IR on a :
(x - 1) (ax² + bx + c) = ax³ + bx² + cx - ax² - bx - c = ax³ + (b - a) x² + (c - b) x - c
x³ - 7x + 6 = (x - 1)(ax² + bx + c) ⇔ x³ - 7x + 6 = ax³ + (b - a) x² + (c - b) x - c
⇔ a = 1 et b - a = 0 et c - b = -7 et -c = 6
⇔ a = b = 1 et c = -6
3 ) (E) ⇔ (x - 1) (x² + x - 6) = 0
⇔ (x - 1) (x² + 2x × ½ + 1/4 - 1/4 - 6) = 0
⇔ (x - 1) ((x + ½)² - 25/4) = 0
⇔ (x - 1) ((x + ½)² - (5/2)²) = 0
⇔ (x - 1) (x + 1/2 + 5/2) (x + 1/2 - 5/2) = 0
⇔ (x - 1) (x + 3) (x - 2) = 0
⇔ x = -3 ou x = 1 ou x = 2
L'ensemble des solutions de (E) est { -3 ; 1 ; 2}
4 ) On pose P(x) = 8x³ - 10x² + x + 1
On note que P(1) = 8 - 10 + 1 + 1 = 0
1 est donc une racine de P. par conséquenr P(x) = (x - 1) (ax² + bx + c)
avec a , b , c ∈ IR
On a :
(x - 1) (ax² + bx + c) = ax³ + (b - a) x² + (c - b) x - c
D'où a = 8 ; b - a = -10 ; c - b = 1 et -c = 1
Soit a = 8 ; b = -2 et c = -1
On en déduit que P(x) = (x - 1) (8x² - 2x - 1)
Or 8x² - 2x - 1 = 2 ((2x)² - 2 × 2x × 1/4 + 1/16 - 1/16 - ½) = 2 [(2x - 1/4)² - 9/16] = 2 [(2x - 1/4)² - (3/4)²] = 2 (2x - 1/4 + 3/4) (2x - 1/4 - 3/4) = 2 (2x + 1/2) (2x - 1) = (4x + 1) (2x - 1)
On en déduit que :
8x³ - 10x²+x+ 1 = 0 ⇔ (x - 1) (4x + 1) (2x -1) = 0
⇔ x = 1 ou x = -1/4 ou x = 1/2
L'ensemble des solutions de (E) est { -1/4 ; 1/2 ; 1}
