Réponse :
un+1 = (3un + 1)/(2un + 4) et u0 = 1
1) montrer que pour tout entier naturel n; un ≥ 0
raisonnement par récurrence
P(n) : un ≥ 0
*initialisation : vérifions que pour n = 0 ; P(0) est vraie
u0 = 1 ≥ 0 donc P(0) est vraie
* hérédité : supposons que pour un entier n ; P(n) est v≥raie et montrons que P(n+1) est vraie
on a un ≥ 0 donc 3un + 1 ≥ 0 et 2un + 4 > 0 donc (3un + 1)/(2un + 4)≥0
donc un+1 ≥ 0 donc P(n+1) est vraie
* conclusion : P(0) est vraie et P(n) est héréditaire au rang n
donc par récurrence P(n) est vraie pour tout entier naturel n
2) tn = (2un - 1)/(un + 1)
a) montrer que la suite (tn) est géométrique de raison 2/5
tn+1 = (2un+1 - 1)/(un+1 + 1)
= (2(3un + 1)/(2un + 4) - 1)/((3un + 1)/(2un + 4) + 1)
= (2(3un + 1)/(2un + 4) - (2un + 4))/((3un + 1)/((2un + 4) + (2un + 4))
= (6un + 2 - 2un - 4)/(2un + 4)/(3un + 1 + 2un + 4)/(2un + 4)
= (4 un - 2)/(2un + 4)/(5un + 5)/(2un + 4)
= (4un - 2)/(5un + 5)
= 2(2un - 1)/5(un + 1)
tn+1 = 2/5) tn cqfd
b) expliciter tn en fonction de n pour tout entier naturel n
t0 = (2u0 - 1)/(u0 + 1) = (2 - 1)/(1+1) = 1/2
tn = t0 x qⁿ = 1/2) x (2/5)ⁿ = 1/2) x 2ⁿ/5ⁿ = 2ⁿ⁻¹/5ⁿ
3) en déduire l'expression explicite de un en fonction de n
tn = (2un - 1)/(un + 1)
tn(un + 1) = 2un - 1
tnun + tn = 2un - 1
2un - tnun = tn + 1
un(2 - tn) = tn + 1
un = (tn + 1)/(2 - tn) = (2ⁿ⁻¹/5ⁿ + 1)/(2 - 2ⁿ⁻¹/5ⁿ
= (2ⁿ⁻¹ + 5ⁿ)/5ⁿ)/(2x5ⁿ - 2ⁿ⁻¹)/5ⁿ
un = (2ⁿ⁻¹ + 5ⁿ)/(2x5ⁿ - 2ⁿ⁻¹)
4) en déduire la convergence de la suite (un) et donner sa limite
un+1 ≥ 0 et un ≥ 0 donc un+1 ≥ un donc (un) est croissante sur N
un est minorée par 0 donc (un) est convergente
lim n → + ∞ (un)
Explications étape par étape :