Bonjour,
1) Soit n un entier naturel
On a vₙ₊₁ - vₙ = 1 / (uₙ₊₁ - 2) - 1 / (uₙ - 2)
⇔ vₙ₊₁ - vₙ = 1 / ((uₙ - 4) / (uₙ -3) - 2) - 1 / (uₙ - 2)
⇔ vₙ₊₁ - vₙ = 1 / ((uₙ - 4 - 2uₙ + 6) / (uₙ - 3)) - 1 / (uₙ - 2)
⇔ vₙ₊₁ - vₙ = 1 / (-(uₙ - 2) / (uₙ - 3)) - 1 / (uₙ - 2)
⇔ vₙ₊₁ - vₙ = -(uₙ - 3) / (uₙ - 2) - 1 / (uₙ - 2)
⇔ vₙ₊₁ - vₙ = (-uₙ + 3 - 1) / (uₙ - 2)
⇔ vₙ₊₁ - vₙ = (-uₙ + 2) / (uₙ - 2)
⇔ vₙ₊₁ - vₙ = -1
⇔ vₙ₊₁ = vₙ -1
On en conclut que (vₙ) est une suite arithmétique dont le premier terme est v₀ = -1 et dont la raison est r = -1
2) De la question précédente on peut déduire que vₙ = v₀ - n = - (n + 1) pour tout n dans IN
D'où uₙ = 2 + 1/vₙ = 2 - 1 / (n + 1) = (2n + 2 - 1) / (n + 1) = (2n + 1) / (n + 1)
