Réponse :
Bonjour,
Par élévation au carré, mais cela peut introduire des racines supplémentaires non valides : il faudra vérifier.
Explications étape par étape :
[tex]x=\sqrt{6+\sqrt{x+6} } \\\\x^2=6+\sqrt{x+6} \\\\\sqrt{x+6}=x^2-6\\\\x+6=x^4-12x^2+36\\\\P(x)=x^4-12x^2-x+30\\\\=x^4+2x^3-2x^3-4x^2-8x^2-16x+15x+30\\\\=x^3(x+2)-2x^2(x+2)-8x(x+2)+15(x+2)\\\\=(x+2)(x^3-2x^2-8x+15)\\=(x+2)*Q(x)\\\\Q(x)=x^3-3x^2+x^2-8x+15=x^3-3x^2+x^2-3x-5x+15\\\\=x^2(x-3)+x(x-3)-5(x-3)\\\\=(x-3)(x^2+x-5)\\\\P(x)=\dfrac{1}{4} (x+2)(x-3)(2x+1-\sqrt{21})(2x+1+\sqrt{21} )\\\\[/tex]
[tex]si\ x= \dfrac{-1+\sqrt{21} }{2}=1,338390... ,\ alors \\\sqrt{6+\sqrt{\dfrac{-1+\sqrt{21} }{2}+6} }= 2,965010...\ n'est\ pas\ solution.\\\\\\si\ x= \dfrac{-1-\sqrt{21} }{2}=-2,791287... ,\ alors \\\sqrt{6+\sqrt{\dfrac{-1-\sqrt{21} }{2}+6} }= 2,791287..\ n'est\ pas\ solution.\\\\[/tex]
[tex]si\ x=-2\ ,alors\\\sqrt{6+\sqrt{-2+6} } =\sqrt{6+2} =\sqrt{8} \neq -2\ n'est\ pas\ solution.\\[/tex]
[tex]\boxed{si\ x=3\ ,alors\ \sqrt{6+\sqrt{3+6} } =\sqrt{6+3} =3\ est\ solution.}\\[/tex]
