a) Construire un triangle ABC rectangle en A tel que AB=8 cm et BC=10 cm.
b) Déterminer, en justifiant, la longueur AC.
On considère un triangle ABC rectangle en A dont les trois côtés sont des nombres entiers.
On souhaite montrer qu'au moins un de ces nombres est pair.
Pour cela, on va raisonner par l'absurde: On note a la longueur du côté [BC], b la longueur du côté
[AC] et c la longueur du côté [AB].On suppose que ces trois nombresa, b et c sont des nombres
impairs. En utilisant le théorème de Pythagore, montrer que l'on aboutit à une absurdité.Conclure.
e 2

Question

Answered

Sagot :

MOZI MOZI · Answer 1 · 2022-09-14T11:05:49+02:00

Bonjour,

a) On trace le segment [AB] de longueur 8 cm ainsi que la droit (D) perpendiculaire à (AB) en A.

A l'aide du compas, on trace le segment [BC] en plaçant la point du compas en B et avec un rayon r = 10 cm.

L'intersection de l'arc de cercle C(B ; 10) et la droite (D) est le point C.

b) ABC est un triangle rectangle en A.

D'après le th. de Pythagore, AC² = BC² - AB² = 100 - 64 = 36

Soit AC = 6 cm

Le th. de Pythagore nous permet de dire que a² = b² + c²

or b et c sont deux nombres impair, il existe donc trois entiers p, n et m tels que:

a = 2p + 1 ; b = 2n + 1 et c = 2m + 1

De ces égalités, on peut déduire que a² = 4p² + 4p + 1 = 2 (2p² + 2p) + 1

soit a² est un nombre impair.

et

b² + c² = (2n + 1)² + (2m + 1)² = 4n² + 4n + 1 + 4m² + 4m + 1 = 2 (2n² + 2n + 2m² + 2m + 1) soit b² + c² est un nombre pair

Absurde car un nombre impair (a²) ne peut être égal à un nombre pair (b² + c²).

On en conclut que si trois entiers a, b et c vérifient a² = b² + c² alors au moins un de ces nombres est pair.