Réponse :
Bonjour
Soit Pₙ la propriété : 7ⁿ - 1 est un multiple de 6
Initialisation
7⁰ - 1 = 1 - 1 = 0
0 est bien un multiple de 6
Donc P₀ est vraie
Hérédité
Soit un certain n pour lequel on a 7ⁿ - 1 multiple de 6, donc on peut écrire : 7ⁿ - 1 = 6k (avec k entier relatif) (hypothèse de récurrence)
donc 7ⁿ = 6k + 1
⇔ 7×7ⁿ = 7(6k + 1)
⇔ 7ⁿ⁺¹ = 42k + 7
⇔ 7ⁿ⁺¹ = 42k + 6 + 1
⇔ 7ⁿ⁺¹ = 6(7k + 1) + 1
⇔ 7ⁿ⁺¹ - 1 = 6(7k + 1)
7ⁿ⁺¹ - 1 est donc un multiple de 6
Si Pₙ est vraie, Pₙ₊₁ est également vraie, donc Pₙ est héréditaire
Conclusion
La propriété Pₙ est vraie pour n = 0 , et elle est héréditaire. Elle est donc vraie pour tout n entier naturel
Donc pour tout n entier nature, 7ⁿ - 1 est un multiple de 6
