Réponse :
Bonjour
1) u₂ = u₁ + 1/(1+1)(1+2) = 1/2 + 1/6 = 4/6 = 2/3
u₃ = u₂ + 1/(2+1)(2+2) = 2/3 + 1/12 = 9/12 = 3/4
2) u₁ = 1/2 ; u₂ = 2/3 ; u₃ = 3/4 ; u₄ = 4/5 ; u₅ = 5/6 ; u₆ = 6/7 ; u7 = 7/8 ;
u₈ = 8/9 ; u₉ = 9/10 et u₁₀ = 10/11
3) On peut conjecturer que uₙ = n/(n+1)
4) Soit Pₙ la propriété : uₙ = n/(n+1)
Initialisation
u₁ = 1/2 et n(n+1) = 1/(1+1) = 1/2
P₁ est donc vraie
Hérédité
Démontrons que si Pₙ est vraie à un certain rang n , elle alors également vraie au rang (n+1). On cherchera donc à montrer que uₙ₊₁ = (n+1)/(n+2)
On a : uₙ₊₁ = uₙ + 1/(n+1)(n+2)
⇔ uₙ₊₁ = n/(n+1) + 1/(n+1)(n+2) (hypothèse de récurrence)
⇔ uₙ₊₁ = n(n+2)/(n+1)(n+2) + 1/(n+1)(n+2) (on met les 2 fractions au même dénominateur)
⇔ uₙ₊₁ =( n(n+2) + 1)/(n+1)(n+2) (on met tout sur la même fraction)
⇔ uₙ₊₁ = (n² + 2n + 1) / (n+1)(n+2) (on développe le numérateur)
⇔ uₙ₊₁ = (n+1)²/(n+1)(n+2) (factorisation du numérateur)
⇔ uₙ₊₁ = (n+1)/(n+2) (simplification par (n+1))
Pₙ₊₁ est donc vraie, la propriété est héréditaire.
Conclusion
La propriété P est vraie au rang 1 , et elle est héréditaire. Elle est donc vraie pour tout n entier naturel
Pour tout n entier naturel, on a donc uₙ = n/(n+1)
