Bonjour j’ai besoin d’aide pour ce problème niveau terminale ( Vous trouverez la figure en pj)
Minimiser une aire:
On considère le point A de coordonnées (1;1). M et N sont les
points d’intersection d’une droite passant par A avec les des deux axes du repère. Le but du problème est de déterminer la position de M et de N pour que l’aire du triangle OMN soit minimale. On note x l’abscisse de M et y l’ordonnée de N.
1. Exprimer y en fonction de x .
2. On appelle f la fonction exprimant l’aire du triangle OMN en fonction de x. Déterminer l’expression algébrique f (x). Préciser l’intervalle d’étude de la fonction f .
3. Procéder à l’étude de la fonction sur cet intervalle puis conclure.

Question

Answered

Sagot :

veryjeanpaul veryjeanpaul · Answer 1 · 2022-09-04T10:28:17+02:00

Réponse :

Bonjour, je te propose une solution

Explications étape par étape :

1) Soient les points B et C les projetés de A sur les axes

B(1;0 ) et C(0; 1)les coordonnées de M (x; 0 ) avec x>1

les triangles NCA et ABM sont semblables donc NC/AB=CA/BM

soient NC/1=1/(x-1) donc NC=1/(x-1) donc ON=1+1/(x-1)=x/(x-1)

2) l'aire du triangle OMN=OM*ON/2 avec OM=x et ON=x/(x-1)

on remplace f(x)=x²/[2(x-1)]

intervalle d'étude de f(x) ]1; +oo[ car x doit être>1.

3)Etude de f(x)

Limites:

si x tend vers1+ , f(x) tend vers 1/0+=+oo

si x tend vers +oo , f(x) tend vers +oo

Dérivée:

f'(x)=[2x*(2x-2)-2*x²]/4(x-1)²=(2x²-4x)/4(x-1)²=(x²-2x)/2(x-1)²

f'(x)=0 si x²-2x=0 soit x(x-2)=0

solution x=2 la solution x=0 est exclue car x doit être >1

Tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)

x 1 2 +oo

f'(x) - 0 +

f(x) +oo décroît f(2) croît +oo

L'aire est minimale pour x=2 donc pour OM=2 et ON=2

OMN est un triangle isocèle d'aire 2u.a.