Bonjour,
1. Nous devons regarder si le dénominateur peut s'annuler.
Evaluons le discriminant de
[tex]x^2+x+1=0[/tex]
[tex]\Delta=1^2-4*1*1=-3 < 0[/tex]
le discriminant est strictement négatif donc le trinome ne s'annule pas.
De plus, comme il vaut 1 en 0, son signe est positif (ça servira plus tard).
De ce fait, la fonction est bien définie sur IR.
2. il suffit de mettre sur le même dénominateur
[tex]\forall x \in \mathbb{R}\\\\f(x)-3=\dfrac{x}{x^2+x+1}-\dfrac{3*(x^2+x+1)}{x^2+x+1}=\dfrac{-3x^2-2x-3}{x^2+x+1}[/tex]
3. Nous avons déjà vu à la question 1 que
[tex]\forall x \in \mathbb{R}\\\\x^2+x+1 > 0[/tex]
Etudions
[tex]-3x^2-2x-3=0[/tex]
le discriminant est
[tex]\Delta=(-2)^2-4*(-3)*(-3)=4-36 < 0[/tex]
Ce trinome est de signe constant, comme il vaut -3 en 0, il est de signe négatif.
Le signe du quotient est donc négatif.
donc
[tex]\forall x \in \mathbb{R}\\\\f(x)-3 < 0 \Leftrightarrow f(x) < 3[/tex]
f est majorée par 3
4. Maintenans que nous sommes à l'aise aprés l'étude d'un cas particulier, nous allons regarder ce que cela donne dans le cas général.
Soit m et x réels, mettons sur le même dénominateur
[tex]g_m(x)=f(x)-m=\dfrac{-mx^2+(-m+1)x+1}{x^2+x+1}=\dfrac{q_m(x)}{x^2+x+1}[/tex]
5. Comme
[tex]\forall x \in \mathbb{R}\\\\x^2+x+1 > 0[/tex]
[tex]\forall m,x \in \mathbb{R}^2\\\\g_m(x) \ \text{et} \ q_m(x) \ \text{sont de meme signe}[/tex]
6. Le discriminant demandé est
[tex]\Delta=(1-m)^2-4*(-m)*(-m)=m^2-2m+1-4m^2=-3m^2-2m+1[/tex]
Etudions
[tex]-3m^2-2m+1=0[/tex]
le discriminant est
[tex]\Delta=4+12=16=4^2[/tex]
Donc les solutions de l'équation sont
[tex]m_1=\dfrac{2+4}{-6}=-1\\\\m_2=\dfrac{2-4}{-6}=\dfrac{1}{3}[/tex]
l'expression
[tex]-3m^2-3m+1[/tex] est négatif pour m <=-1 et m >= 1/3, positif sinon
Cas 1: m < -1
Comme le discriminant est strictement négatif, [tex]q_m(x)[/tex] est de signe constant sur IR, de même signe que -m > 0
donc
[tex]m < -1\\\\\boxed{q_m(x) > 0}[/tex]
ce n'est pas demandé, mais nous pouvons dire que m est un minorant de f
Cas 2: m=-1
le discriminant est nul, il y a une racine double
C'est la forme
[tex]-m(x-m_0)^2\geq 0[/tex] car -m = 1 donc
[tex]m = -1\\\\\boxed{q_m(x) \geq 0}[/tex]
ce n'est pas demandé, mais nous pouvons dire que -1 est un minimum de f
Cas 3: -1 < m < 1/3
Le discriminant est positif, il y a deux racines distinctes donc [tex]q_m(x)[/tex] n'est pas signe constant sur IR
Cas 4: m= 1/3
le discriminant est nul, il y a une racine double
C'est la forme
[tex]-m(x-m_0)^2\leq 0[/tex] car -m = -1/3 donc
[tex]m = \dfrac1{3}\\\\\boxed{q_m(x) \leq 0}[/tex]
ce n'est pas demandé, mais nous pouvons dire que 1/3 est un maximum de f
Cas 5: m > 1/3
Comme le discriminant est strictement négatif, [tex]q_m(x)[/tex] est de signe constant sur IR, de même signe que -m < 0
donc
[tex]m > \dfrac1{3}\\\\\boxed{q_m(x) < 0}[/tex]
ce n'est pas demandé, mais nous pouvons dire que m est un majorant de f
Nous pouvons vérifier cela sur geogebra et -1 est bien minimum et 1/3 maximum, donc il semblerait que nous n'ayons pas dit trop de bétises.
Merci
