Réponse :
comment montrer que h est strictement décroissante sur R
f(x) = [x/√(x²+1)] - 1 définie sur R . h(x) = f(x) - x
1) a) montrer que h est strictement décroissante sur R
h est une fonction somme de deux fonctions dérivables sur R et sa dérivée h' est h '(x) = f '(x) - 1
f '(x) = (u/v)' = (u'v - v'u)/v²
u(x) = x ⇒ u '(x) = 1
v(x) = √(x²+1) ⇒ v'(x) = 2 x/2√(x²+1) = x/√(x²+1)
f '(x) = [√(x²+1) - [x/√(x²+1)] * x]/(√(x²+1))²
= [√(x²+1) - [x²/√(x²+1)]/(√(x²+1))²
= (x² + 1 - x²)/√(x²+1)]/(x²+ 1) car x²+ 1 > 0
= 1/(√x² + 1)(x² + 1)
donc h'(x) = [1/(√(x² + 1)*(x² + 1)] - 1
= (1 - (√(x² + 1)*(x² + 1)]/(√(x² + 1)*(x² + 1)]
or (√(x² + 1)*(x² + 1)] > 0 ⇔ - (√(x² + 1)*(x² + 1)] < 0
⇔ 1 - (√(x² + 1)*(x² + 1)] < 1 donc 1 - (√(x² + 1)*(x² + 1)] < 0
donc h '(x) < 0 ⇒ h est strictement décroissante sur R
Explications étape par étape :
