Réponse :
Explications étape par étape :
■ cet exercice n' est pas dur ! ☺
■ tableau-résumé de la fonction f :
U3 U2 U1 Uo
x --> 1,545 1,75 2,2 4
f(x) --> ≈ 1,43 1,545... 1,75 2,2
■ il est clair que la suite (Un) est décroissante
et convergente vers 1 .
■ 3°) Un+1 - Un = f(Un) - Un = 3 - [ 4/(Un + 1) ] - Un
= [ 3Un + 3 - 4 - Un² - Un ] / (Un + 1)
= [ -Un² + 2Un - 1 ] / (Un + 1)
= - (Un - 1)² / (Un + 1)
cette expression est toujours négative,
ce qui prouve que la suite (Un) est bien décroissante ! ☺
■ 4°) Un+1 > 1 donne 3 - [ 4 / (Un + 1) ] > 1
3Un + 3 - 4 > Un + 1
3Un - 1 > Un + 1
2Un > 2
Un > 1 .
■ 5°) f(x) = x donne 3 - 4/(x+1) = x
3x + 3 - 4 = x² + x
2x - 1 = x²
on doit donc résoudre x² - 2x + 1 = 0
(x-1)² = 0
x = 1 .
On retrouve bien l' abscisse du point commun de la courbe Cf
et de la droite D, qui correspond aussi à la limite de la suite (Un) .
