Réponse :
Bonsoir
Explications étape par étape :
f(x)=e^-x +2x-1 Df=R
1)Limites
si x tend vers -oo, e^-x tend vers +oo et 2x tend vers -oo par les croissances comparées f(x) tend vers +oo
si x tend vers +oo, e^-x tend vers 0, et 2x tend vers +oo donc f(x) tend vers +oo
2) f(ln(1/2))or ln (1/2)=ln1-ln2=-ln2
f(-ln2)=e^(ln2)-2ln2-1= 1-2ln2 soit environ -0,4 (car e^ln2=2).
3) Dérivée f'(x)=-e^-x +2=-1/e^x+2=(2e^x -1)/e^x
f'(x)=0 si 2e^x=1 donc si e^x=1/2 si x=ln(1/2)=-ln2
Tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)
x -oo -ln2 +oo
f'(x) - 0 +
f(x) +oo décroît -0,4 croît +oo
4) Equation de la tangente (T)au point d'abscisse x=0
y=f'(0)(x-0)+f(0)=2(x-2)+0=2x y=2x
5) dérivée seconde f"(x)=-(-e^-x)=e^-x
cette dérivée seconde est toujours >0 donc la courbe représentant f(x) est convexe. La courbe est au dessus de la tangente sauf au point d'abscisse x=0
6) D'après le TVI on voit que f(x)=0 a deux solutions la première sur l'intervalle ]-oo; -ln2[ et la seconde sur l'intervalle ]-ln2+oo[ l
la seconde est b=0 solution évidente f(0)=e^0 + 2*0 -1=0 (vue avec la tangente)
la première "a" est comprise entre -1 et -2 car f(-1)<0 et f(-2)>0
Détermine la valeur de "a" à 10^-2 près avec ta calculette.
7)signes de f(x)
f(x) est >0 sur ]-oo; a[U]0; +oo[et f(x)<0 sur ]a; 0[
