Bonjour à tous, est ce que quelqu'un pourrait m'aider, je suis bloquée à un exercice de mon dm de maths que je dois rendre lundi :
Soit (Un)n la suite arithmétique de premier terme U1=3 et de raison -1/2.
1. Exprimer Un en fonction de n.
2. Soit Sn= U1 + U2+...+Un et Tn= Sn/n pour tout n supérieur ou égal à 1.
a) Exprimer Sn puis Tn en fonction de n.
b) Montrer que la suite (Tn) est arithmétique.
J'ai répondu à la question 1, j'ai trouvé Un + 3+(n-1)1/2, mais je n'arrive pas à répondre aux questions suivantes. Merci d'avance pour votre aide!
1) Il est vu en cours que pour une suite arithmétique: Un = Up + (n-p)r
ici, la raison est r = -1/2 ; le premier terme est Up = U1
On trouve donc Un = U1- (n-1)/2 = 3 - (n-1)/2 = 3 + (1-n)/2 = 7/2 - n/2
2) a) Sn = U1+U2+...+Un = 7/2 - 1/2 + 7/2 - 2/2 + ... + 7/2 - n/2
On va de U1 à Un, il y a donc n termes donc :
Sn = n(7/2) -1/2 - 2/2 - ... - n/2 = n(7/2) - 1/2 (1+2+...+n)
ici, je met -1/2 en facteur et on retrouve la somme des n 1er entiers
La somme des n 1er entiers vaut n(n+1)/2 donc
Sn = n(7/2) - n(n+1)/4 = n( 7/2 - 1/4 - n/4 ) = n(13-n)/4
Tn = Sn/n = (13-n)/4
b) Tn = 13/4 - (1/4)n et comme n est supérieur ou égal à 1, le 1er terme est celui de rang 1 et on doit mettre Tn sous la forme Tn = T1 + (n-1)r = T1-r + nr
Donc, par identification : T1-r = 13/4 et r = -1/4 d'où T1 = 13/4-1/4 =12/4 =3
Alors Tn s'écrit Tn= 3 - (n-1)/4
Donc Tn est une suite arithmétique de raison r= -1/4 et de premier terme T1=3