Bonjour,
Exo 5
1.
Soit n entier, la fonction f définie sur l'intervalle [1;e] par
[tex]\forall x \in [1;e]\\\\f(x)=x(ln(x))^n[/tex]
est continue sur [1;e]
et
[tex]\forall x \in [1;e]\\\\f(x)=x(ln(x))^n\geq 0[/tex]
pour n = 0 c'est évident car x >0
pour n différent de 0, c'est vrai car la fonction ln est croissante sur IR+* et ln(1)=0
De ce fait, son intégrale sur [1;e] est positive soit
[tex]\forall n \in \mathcbb{N}\\\\\displaystyle I_n=\int_1^e x(ln(x))^ndx \geq 0[/tex]
2.
soit n entier
[tex]\forall x \in [1;e]\\\\\displaystyle I_{n+1}=\int_1^e x*ln(x)*(ln(x))^ndx\leq \int_1^e x*ln(e)*(ln(x))^ndx\\\\I_{n+1}\leq I_n[/tex]
car ln(e)=1
Donc la suite [tex](I_n)[/tex] est décroissante.
La suite est minorée et décroissante donc elle converge.
3.
Regardons un peu ce qu'il se passe sur les premiers termes.
pour n = 0, nous avons
[tex]\displaystyle I_0=\int_1^e xdx=\left[\dfrac{x^2}{2} \right]_1^e=\dfrac{e^2-1}{2}[/tex]
pour n = 1, effectuons une intégration par parties
[tex]\displaystyle I_1=\int_1^e xln(x) dx=\int_1^e ln(x)d(\dfrac{x^2}{2})\\\\=\left[\dfrac{x^2}{2}ln(x) \right]_1^e-\int_1^e \dfrac1{x}*\dfrac{x^2}{2}dx\\\\=\dfrac{e^2}{2}-\left[\dfrac{x^2}{4}\right]_1^e\\\\=\dfrac{e^2}{2}-\dfrac{e^2-1}{4}[/tex]
Nous avons bien
[tex]I_1=\dfrac{e^2}{2}-\dfrac1{2}I_0[/tex]
Regardons le cas général
[tex]\forall n \in \mathbb{N}\\\\n \geq 2\\\\\forall x \in [1;e]\\\\\displaystyle I_n=\int_1^e (ln(x))^nd(\dfrac{x^2}{2})\\\\=\left[\dfrac{x^2}{2}*(ln(x))^n \right]_1^e -\int_1^e n*\dfrac{x^2}{2}(ln(x))^{n-1}*\dfrac1{x}dx\\\\=\dfrac{e^2}{2}-\dfrac{n}{2}\int_1^e x(ln(x))^{n-1}dx\\\\=\dfrac{e^2}{2}-\dfrac{n}{2}I_{n-1}[/tex]
d'où la relation demandée
Stp pose une autre question pour le deuxième exo.
Merci
