Bonjour,
Ecrivons les DLs que nous connaissons et qui peuvent servir ici
[tex]\cos(x)=1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}+o(x^5)\\\\\sin(x)=x-\dfrac{x^3}{6}+o(x^4)\\\\\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)\\\\\ln(1+x^2)=x^2-\dfrac{x^4}{2}+o(x^4)\\\\\arctan(x)=x-\dfrac{x^3}{3}+o(x^4)\\\\e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)\\\\e^{x^2}=1+x^2+\dfrac{x^4}{2}+o(x^4)[/tex]
et pour rappel sur les notations de Landau
[tex]o(x)[/tex] veut dire qu 'il existe une fonction [tex]\epsilon[/tex] qui tend vers 0 tel que
[tex]o(x)=x\epsilon(x)[/tex]
un "petit o" de x est négligeable devant x au voisinage de 0.
Rentrons maintenant dans le vif su sujet
[tex]e^{(1+cos(x))}=e^{2-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}+o(x^4)}\\\\=e^2*\left(1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}+\dfrac1{2}*\left(-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24} \right)^2 o(x^4)\right)\\\\=e^2*\left(1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}+\dfrac{x^4}{8}+o(x^4)\right)[/tex]
du coup
[tex]e^{(1+cos(x))}-e^{2+x^2}+\dfrac{3}{2}e^2sin(x^2)\\\\=e^2*\left(1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}+\dfrac{x^4}{8}+o(x^4)\right)-e^2*\left(1+x^2+\dfrac{x^4}{2}+o(x^4)\right)+\dfrac{3}{2}e^2x^2+o(x^4)\\\\=e^2*\left(-\dfrac{3}{2}x^2+(\dfrac1{24}+\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{2})x^4+\dfrac{3}{2}x^2+o(x^4)\right)\\\\=e^2*\left(-\dfrac1{3}x^4+o(x^4)\right)[/tex]
maintenant voyons ce que donne l'expression au dénominateur
[tex]\ln(1+x^2)-(\arctan(x))^2=x^2-\dfrac{x^4}{2}-\left(x-\dfrac{x^3}{3}+o(x^4)\right)^2\\\\=x^2-\dfrac{x^4}{2}-x^2+\dfrac{2}{3}x^4+o(x^4)\\\\=\dfrac{x^4}{6}+o(x^4)[/tex]
Du coup le rapport nous donne
[tex]\dfrac{-\dfrac{e^2}{3}x^4+o(x^4)}{\dfrac{x^4}{6}+o(x^4)}[/tex]
d'ou la limite recherchée est [tex]\boxed{-2e^2}[/tex]
en résumé. il faut faire gaffe et être miniteux et être sur de ne pas oublier de termes, je te laisse faire le deuxieme et dis moi ce que tu trouves.
Merci
