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On considère tous les triangles ABC rectangles en A tels que AB + AC = 8 cm. Soit x
la longueur AB.
1.a. Exprimer AC en fonction de x.
b. En déduire que x appartient à l'intervalle [0 ; 8].
2. Déterminer en fonction de x le périmètre f(x) du triangle ABC.
3. Établir le tableau de variations de f sur [0; 8]. On admettra que, pour u(x) ≥ 0, les
fonctions u et √u ont les mêmes variations.
4. Quel triangle ABC a le plus petit périmètre ?

Sagot :

Réponse :

Explications étape par étape :

Bonjour

1)a)  ABC triangle ractangle en A

  AB = x

  AB + AC = 8 donc AC = 8 - AB soit AC = 8 - x

b ) AC>=0 soit 8-x >= 0 -x >= -8 et donc x < =8

donc 0 <= x <= 8

2)  Théorème de Pythagore

BC² = AB² + AC²

BC² = x² + (8-x)²

       = x² + 64 - 16x + x²

       = 2x² - 16x+ 64

BC = rac (2x² - 16x - 64)

P = f'x) = AB + AC + BC

f(x) = x + 8 -x +  rac (2x² - 16x + 64)

f(x) = 8 + rac (2x² - 16x + 64)

3) soit g(x) = 2x² - 16x + 64

g admet un minimum égal à32  pour x = (16) / (2*2) = 4

x

g(x)            0                           4                             8

                 64    décroiss      32             croiss     64

rac (f(x)       8      décroiss      4rac2       croiss     8

f(x)               16    décroiss     4rac2 + 8   croiss     16

4) ABC a un périmètre minimal pour x = 4

Soit AB = 4

      AC = 8 - 4= 4

Le triangle ABC qui a le plus petit périmètre  est le triangle rectangle isocèle, de côté d'angle droit égal à 4