Réponse :
Explications :
Bonsoir, en premier lieu, connaître les formules classiques du cours. Conseil en physique : Faire preuve d'une rigueur sans faille, comme la cuisine. Poser chaque équation, chaque définition, sans se précipiter. En priorité, la loi de l'attraction gravitationnelle de Newton, qui te permet d'exprimer l'influence d'un corps par rapport à un autre.
Ici, on appellera Ma, la masse de Mars, et Ms, la masse de la sonde spatiale, D la distance entre ces 2 corps. Alors, la force d'attraction F de Mars, sur la sonde, s'exprime ainsi :
[tex]F = G*\frac{Ma*Ms}{D^2}[/tex] avec bien évidemment, Ma, Ms en kg, D en km, et la constante de gravitation [tex]G = 6,67*10^{-11}N.m^2.kg^{-2}[/tex]
Partant d'ici, la 3e loi de Newton t'informe aussi, que les forces s'équilibrent des 2 côtés, autrement dit, si tu fais la somme de la force de Mars exercée sur la sonde, et réciproquement, tu obtiendras forcément 0. Inutile donc, de se soucier de l'ordre des forces.
A ce stade, faire preuve d'une extrême prudence. La distance D, se calcule à partir du centre de Mars, et non pas de sa surface. Donc, à chaque altitude, pour la distance D, il faudra ajouter le rayon de Mars, qu'on va appeler Rm. Par conséquent, on obtient 2 équations :
[tex]F_1 = G*\frac{Ma*Ms}{(R_m+H_1)^2}[/tex] et [tex]F_2 = G*\frac{Ma*Ms}{(R_m+H_2)^2}[/tex]
3 inconnues, Ma, Ms et Rm, avec 2 équations... problématique, comment se dépatouiller ? Il faudrait avoir au moins 2 équations à 2 inconnues, ou mieux, 1 équation à 1 inconnue. Technique roublarde, le numérateur est identique pour chaque force... alors, en effectuant le quotient de ces 2 forces, ces numérateurs s'élimineront mutuellement !
Attention, on peut diviser, car les forces F1 et F2 ne sont pas nulles (la fameuse division par zéro). Calculons le rapport F2/F1 :
[tex]\frac{F_2}{F_1} = \frac{G*Ma*Ms}{\frac{(R_m+H_2)^2}{\frac{G*Ma*Ms}{(R_m+H_1)^2} } } = \frac{G*Ma*Ms}{(R_m+H_2)^2}*\frac{(R_m+H_1)^2}{G*Ma*Ms} = \frac{(R_m+H_1)^2}{(R_m+H_2)^2} = (\frac{R_m+H_1}{R_m+H_2})^2[/tex]
Tout s'éclaircit... on connaît F2, F1, H1, et H2. On cherche le rayon de Mars Rm, 1 équation à 1 inconnue, mission accomplie.
2e conseil : Ne jamais mélanger les lettres et les chiffres dans une formule. Ici, on va d'abord exprimer Rm, en fonction de F1, F2, H1, et H2, puis calculer avec des chiffres.
Commençons par appliquer la racine carrée de chaque côté :
[tex]\frac{R_m+H_1}{R_m+H_2} = \sqrt{\frac{F_2}{F_1} }[/tex]
[tex]< == > R_m+H_1 = (R_m+H_2)(\sqrt{\frac{F_2}{F_1} }) = R_m*\sqrt{\frac{F_2}{F_1} }+H_2*\sqrt{\frac{F_2}{F_1} }[/tex]
[tex]< == > R_m(1-\sqrt{\frac{F_2}{F_1} }) = H_2*\sqrt{\frac{F_2}{F_1} } - H_1[/tex]
[tex]< == > R_m = \frac{H_2*\sqrt{\frac{F_2}{F_1} }-H_1}{1-\sqrt{\frac{F_2}{F_1} }}[/tex]
Je te l'accorde, cette formule est particulièrement indigeste. On a commencé par multiplier Par Rm+H2 de chaque côté de l'égalité, puis, on factorise par Rm à gauche de l'égalité. On passe H1 à droite, puis on calcule le quotient.
Astuce : Pour éviter l'indigestion, tu peux aussi poser une lettre, pour remplacer une expression.
Exemple, posons : [tex]S = \sqrt{\frac{F_2}{F_1} }[/tex] il te suffira d'utiliser S :
[tex]\frac{R_m+H_1}{R_m+H_2} = S[/tex]
[tex]< == > R_m+H_1 = S(R_m+H_2) = R_m*S + H_2*S[/tex]
[tex]< == > R_m-R_m*S = H_2*S - H_1[/tex]
[tex]< == > R_m(1-S) = H_2*S-H_1[/tex]
[tex]R_m = \frac{H_2*S-H_1}{1-S}[/tex]
Terminé. Exprimer Rm en fonction de H1, H2, et S, ça facilite énormément les calculs, en diminuant le risque d'erreur. Ensuite, tu remplaces S, par :
[tex]S = \sqrt{\frac{F_2}{F_1} }[/tex] dans la dernière égalité, tu obtiendras la même formule qu'avant.
Ensuite, on calcule, puisqu'on dispose de toutes les données, avec :
[tex]R_m = \frac{7.76*10^4*\sqrt{\frac{16.3}{40.2} }-4.82*10^4 }{1-\sqrt{\frac{16.3}{40.2} } } = 3.34*10^3 km[/tex] (arrondir au centième près, car les altitudes H1 et H2, sont arrondies au centième.
Ensuite, il suffit de vérifier sur Google, voir si le résultat est cohérent, effectivement, il l'est.
Bonne soirée.
