Réponse :
1) a) calculer u1 et u2
u1 = 2u0/(2+7u0) = 2 x 1/2)/(2 + 7 x 1/2) = 2/11
u2 = 2u1/(2+7u1) = 2 x 2/11)/(2 + 7 x 2/11) = 4/36 = 1/9
b) montrer que (un) n'est ni arithmétique ni géométrique
u1 - u0 = 2/11 - 1/2 = - 7/22
u2 - u1 = 1/9 - 2/11 = - 7/99
u1 - u0 ≠ u2 - u1 donc (un) n'est pas arithmétique
u1/u0 = 2/11/1/2 = 4/11
u2/u1 = 1/9/2/11 = 11/18
u1/u0 ≠ u2/u1 donc (un) n'est pas géométrique
2) un ≠ 0 ; vn = (2 - un)/un
a) montrer que (vn) est une suite arithmétique
vn+1 = (2 - un+1)/un+1
= (2 - (2un/(2+7un))/2un/(2+7un)
= (2(2+7un) - 2un)/2un
= (4 + 14un - 2un)/2un
= ((4 - 2un) + 14un)/2un
= 2(2 - un)/2un + 14un/2un
= ((2 - un)/un) + 7
vn+1 = vn + 7 cqfd (vn) est une suite arithmétique de raison r = 7
et de premier terme v0 = (2 -u0)/u0 = (2 - 1/2)/1/2 = 3
b) exprimer vn en fonction de n
vn = v0 + nr = 3 + 7n
3) a) montrer que un = 2/(7n + 4)
vn = (2 - un)/un ⇔ vn x un = 2 - un ⇔ vn x un + un = 2
⇔ un(1 + vn) = 2 ⇔ un(1 + 3 + 7n) = 2 ⇔ un = 2/(4+7n)
b) n ∈ N; un = f(n) donner l'expression de f définie sur [0 ; + ∞[
f(x) = 2/(7x + 4)
c) f est une fonction quotient dérivable sur [0 ; + ∞[ et sa dérivée f ' est f '(x) = - 14/(7 x + 4)² < 0 donc f est décroissante sur [0 ; + ∞[ donc la suite (un) est décroissante sur N
Explications étape par étape :