Answered

Bonjour,
Quelle est la reponse a cette question s'il vous plait :
Soit la fonction f definie sur R par f(x)=sin(2x)-cos(x) x sin(x)
Etudier la parite et la periodicite de la fonction f

Sagot :

MOZI

Bonsoir,

f(x) = sin(2x) - cos(x) . sin(x)

Df = IR

∀ x ∈ Df on a (-x) ∈ Df et (x + π) ∈ Df

Soit x ∈ IR

On a :

f(-x) = sin(-2x) - cos(-x) . sin(-x)

⇔ f(-x) = -sin(2x) - cos(x) . (- sin(x))

⇔ f(-x) = -sin(2x) + cos(x) . sin(x)

⇔ f(-x) = - (sin(2x) - cos(x) . sin(x))

⇔ f(-x) = - f(x)

De plus, on a :

f(x + π) = sin(2x + 2π) - cos(x + π) . sin(x + π)

⇔ f(x + π) = sin(2x) - (-cos(x)) . (-sin(x))

⇔ f(x + π) = sin(2x) - cos(x) . sin(x)

⇔ f(x + π) = f(x)

f est donc une fonction impaire et périodique de période π